Для решения надо вспомнить два полезных наблюдения. I. Сумма иррационального и рационального чисел - иррациональное число. II. Произведение рационального числа, не равного нулю, на иррациональное число - иррациональное число. (Оба наблюдения доказываются от противного, в итоге придем к противоречию: в первом случае иррациональное слагаемое - разность двух рациональных чисел, во втором - иррациональный сомножитель представляется в виде частного рациональных чисел).
Решение. 1) a - 2b = (a + b) - 3b - иррационально как сумма рационального по условию числа a+b и иррационального по наблюдению II числа (-3)*b 2) a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) - иррационально как произведение рационального ненулевого по условию числа a+b и иррационального по доказанному числу a-2b.
I. Сумма иррационального и рационального чисел - иррациональное число.
II. Произведение рационального числа, не равного нулю, на иррациональное число - иррациональное число.
(Оба наблюдения доказываются от противного, в итоге придем к противоречию: в первом случае иррациональное слагаемое - разность двух рациональных чисел, во втором - иррациональный сомножитель представляется в виде частного рациональных чисел).
Решение.
1) a - 2b = (a + b) - 3b - иррационально как сумма рационального по условию числа a+b и иррационального по наблюдению II числа (-3)*b
2) a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) - иррационально как произведение рационального ненулевого по условию числа a+b и иррационального по доказанному числу a-2b.
b1 +1 = a1 b1 + 1 = a1 подстановка
b2 + 1 = a2 b1q +1 = a1 +d b1q +1 = b1 +1 +d ⇒d = b1q - b1
b3 + 7= a3 b1q² + 7 = a1 + 2d b1q² + 7 = b1 + 1 + 2d
b4 + 25 = a4 b1q³ + 25 = a1 + 3d b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3d
сделаем подстановку в 3 и 4 уравнения:
b1q² + 7 = b1 +1 + 2(b1q - b1)
b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3(b1q - b1)
теперь надо решить эту систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Упрощаем каждое уравнение
b1q² - 2b1q + b1 = - 6 b1(q² -2q +1) = -6
b1q³ - 3b1q + 2b1 = -24 ⇒ b1(q³ - 3q + 2) = -24 Разделим первое уравнение на второе. Получим:
(q² - 2q +1)/(q³ - 3q + 2) = 1/4⇒ 4q² - 8 q + 4 = q³ - 3q +2⇒q³ - 4q² + 5q -2 = 0
Получили уравнение 3-й степени. Его корни - это делители свободного члена.
Возможные корни: +-1; + - 2
+- 1 не рассматриваем. Проверим + - 2
а) q = 2
8 - 16 + 10 - 2 = 0
б) q = -2
-8 -16 - 10 -2 ≠0
вывод: q = 2
b1(q² -2q +1) = -6
b1(4 -4 +1) = -6
b1·1 = -6
b1 = -6
геометрическая прогрессия: - 6; - 12; - 24; - 48