Дракон, который сидел в пещере и охранял сокровища, украденные у гномов, через некоторое время согласился выплачивать процент жителям Дейла, которые подрядились оберегать его сон, поскольку сокровищ было несметное количество, а дракона без конца беспокоили гномьи экспедиции. Хороший же сон обеспечил бы Смаугу возможность периодически грабить другие сокровищницы и приумножать горы золота. Проценты стали начисляться со дня, в который это решение было принято, до срока, когда стороны решат расторгнуть договор. Проценты эти жители города договорились периодически забирать, для того чтобы покупать хорошие дубовые доски для изготовления бочек. В январе 20950 года, за несколько десятков лет до рождения Фродо Бэггинса, был заключён этот договор. Сокровища в пещере были оценены сторонами в размере 1,3 млн золотых, а процент, который дракон согласился отдавать, был равен 3% в год от суммы оценки, срок договора определили немалый — 52 лет (год). Причитающиеся проценты можно будет забирать первого числа каждого следующего месяца.
Смогут ли мастера купить досок в июле 20952 года на сумму 71 тыс. золотых, если сделать это они могут только на проценты от сокровища? (В ответе укажи возможность или невозможность покупки и сумму, которые жители города получат к этому сроку. ответ округли до тысяч.)
А) 2·cos2x-4·cosx-1=0
Тождество: cos2x = 2·cos²x-1
2·(2·cos²x-1)-4·cosx-1=0
4·cos²x-2-4·cosx-1=0
4·cos²x-4·cosx -3=0
Введём обозначение: cosx=t. Так как |cosx|≤1, то |t|≤1.
Получим квадратное уравнение:
4·t²-4·t-3=0
D=(-4)²-4·4·(-3)=16+48=64=8²
t₁=(4+8)/(2·4)=12/8=4/3>1 - не подходит
t₂=(4-8)/(2·4)=(-4)/8= -1/2.
Сделаем обратную замену для t₂= -1/2:
cosx= -1/2, отсюда получаем
ответ: x=2·π/3+2·π·k, x=4·π/3+2·π·k, k∈Z.
Б) Определим все корни, принадлежащие промежутку (-5·π/2; -π)
Из первого набор корней:
-5·π/2 < 2·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 2/3+2·k < -1
-5/2-2/3 < 2·k < -1-2/3
-19/6 < 2·k < -5/3 |:2
-19/12 < k < -5/6
-19/12 < k < -10/12
-19/12 < -12/12 < -10/12
k= -12/12 = -1. Тогда
x=2·π/3+2·π·(-1)=2·π/3-2·π= -4·π/3 ∈ (-5·π/2; -π).
Из второго набор корней:
-5·π/2 < 4·π/3+2·π·k < -π |:π
-5/2 < 4/3+2·k < -1
-5/2-4/3 < 2·k < -1-4/3
-23/6 < 2·k < -7/3 |:2
-23/12 < k < -7/6
-23/12 < k < -14/12 - в промежутке нет целых чисел!
ответ: x = -4·π/3.
1. ОДЗ: x∈(-∞;+∞)
2. Чётность функции: 4-х²=4-(-х)²≡4-х², ⇒ функция чётная (симметричная относительно оси ОУ).
3. Критические точки:
y`=(4-x²)`=-2x=0
у(0)=4-0²=4 ⇒ уmax=4, а (0;4) - точка перегиба.
x=0 y`=0 ⇒ y`(0)=0 ⇒ имеем два интервала:
-∞+0-+∞
Знак интервала определили простой подстановкой значений из интервала в уравнение у`=-2x
y`>0 - функция убывает.
y`<0 - функция возрастает.
4. Исследование на вогнутость и выпуклость:
Точка перегиба х=0
у=4-х²=0 х₁ -2 х₂=2
-∞+-2+0-2-+∞ ⇒
x∈(-∞;0) - выпуклая.
x∈(0;+∞) - вогнутая.
Вывод: это парабола, опущенная вниз, вершина которой поднята относительно оси ОУ на 4 единицы.