Алгебра: Driving questions to the bats the crowds

Driving questions to the bats the crowds

Показать ответ

Ответ:

Nemesis1984

06.09.2020 04:20

Примем

а1- первое число

а2 - второе число

а3 - третье число

а4 - четвертое число

а5 - пятое число

тогда

а2=а1+1

а3=а2+1=а1+2

а4=а3+1=а1+3

а5=а4+4=а1+4

(а1)^2+(a2)^2+(a3)^2=(a4)^2+(a5)^2

(а1)^2+(а1+1)^2+(а1+2)^2=(а1+3)^2+(а1+4)^2

(а1)^2+(а1)^2+2*a1+1+(а1)^2+4*a1+4=(а1)^2+6*a1+9+(а1)^2+8*a1+16

(а1)^2+(а1)^2+2*a1+1+(а1)^2+4*a1+4-(а1)^2-6*a1-9-(а1)^2-8*a1-16=0

(а1)^2-8*a1-20=0

Квадратное уравнение, решаем относительно a1:
Ищем дискриминант:
D=(-8)^2-4*1*(-20)=64-4*(-20)=64-(-4*20)=64-(-80)=64+80=144;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a1_1=10;
a1_2=-2.

Тогда

а2_1=а1_1+1=10+1=11

а3_1=а2_1+1=11+1=12

а4_1=а3_1+1=12+1=13

а5_1=а4_1+1=13+1=14

а2_2=а1_2+1=-2+1=-1

а3_2=а2_2+1=-1+1=0

а4_2=а3_2+1=0+1=1

а5_2=а4_2+1=1+1=2

Проверим:

10^2+11^2+12^2=13^2+14^2--->365=365

(-2)^2+(-1)^2+0^2=1^2+2^2--->5=5

ответом являются две группы последовательных целых чисел:

1) 10; 11; 12; 13; 14

2) -2; -1; 0; 1; 2

0,0(0 оценок)

Ответ:

Polina8472

22.04.2020 10:39

1) Интегрируем обе части: $y' = \dfrac{1}{5}e^{5x}+\sin x-\dfrac{x^4}{2}+C_{1}$ . Поскольку y'(0) = 1/5 , то $1/5 = 1/5+0-0+C_{1} \Leftrightarrow C_{1} = 0$ . Интегрируем еще раз: $y = \dfrac{1}{25}e^{5x}-\cos x - \dfrac{x^{5}}{10}+C_{2}$ . Но поскольку y(0) = -1 , то $-1 = 1/25-1+C_{2} \Leftrightarrow C_{2} = -1/25$ . Следовательно, ответ: $\boxed{y = \dfrac{1}{25}e^{5x}-\cos x-\dfrac{x^{5}}{10}-\dfrac{1}{25}}$

2) Сделаем замену y' = z . Тогда $xz'\ln x = z\stackrel{z=0\text{ solution}}{\to} \dfrac{dz}{z}=\dfrac{dx}{x\ln x} = \dfrac{d(\ln x)}{\ln x} \Rightarrow \ln|z| = \ln|\ln x|+\overline{C}\Rightarrow |z| = e^{\overline{C}}|\ln x| \Leftrightarrow z = \tilde{C}\ln x$

После обратной замены: $y = \displaystyle \int \widetilde{C}\ln x dx \stackrel{dv=dx,\ u=\ln x}{=} \widetilde{C}\left(x\ln x-\int x\cdot \dfrac{1}{x}dx\right) =\boxed{ \widetilde{C}(x\ln x - x+C)}$

3) Здесь снова делаем замену z=y' . Тогда $z' -z = 8x^2e^{x}$ . Решаем однородное уравнение: $z' - z = 0 \Leftrightarrow \dfrac{dz}{dx} = z \to\dfrac{dz}{z} = dx \to \ln |z| = x+\widetilde{C} \to z = Ce^{x}$ . Применяем метод вариации постоянной, то есть ищем решение в виде $C(x)e^{x}$ : $C'(x)e^{x}+C(x)e^{x} - C(x)e^{x} = 8x^2e^{x} \Leftrightarrow C'(x) = 8x^2 \Leftrightarrow C(x) = \dfrac{8}{3}x^{3}+\overline{C}$ . Значит, $z = \left(\dfrac{8}{3}x^{3}+\overline{C}\right)e^{x} = y'$ . Здесь просто интегрируем. Чтобы не делать несколько раз интегрирование по частям, можно понять, что первообразная $x^{3}e^{x}$ имеет вид $P(x)e^{x}$ , где P(x) -- некоторый полином. Тогда $(P(x)e^{x})' = (P(x))'e^{x}+P(x)e^{x} = x^{3}e^{x} \Leftrightarrow (P(x))' +P(x) = x^{3}$ , то есть по сути, требуется решить еще один диффур, но можно поступить проще: $P(x) = \sum\limits_{j=0}^{n}a_{n-j}x^{n-j};\; a_{n}x^{n}+(na_{n}+a_{n-1})x^{n-1}+\ldots + (2a_{2}+a_{1})x+a_{1}+a_{0}=x^{3}$ , откуда $n=3,\;a_{n=3}=1,\; 3+a_{2} = 0,\; -6+a_{1}=0,\;6+a_{0}=0$ , следовательно, $P(x) = x^{3}-3x^2+6x-6$ . Имеем: $y = \dfrac{8}{3}C_{1}e^{x}+\dfrac{8}{3}(x^{3}-3x^2+6x-6)e^{x}+C_{2} = \boxed{\dfrac{8}{3}e^{x}(x^3-3x^2+6x-6+C_{1})+C_{2}}$ , где $C_{1} = \dfrac{3}{8}\overline{C}$ .