Вот наступила золотая осеньe. самая красивая и живописная пора года. осень любит желтые, красные, оранжевые краски, а как любит она осыпать все золотом. вот приходишь в березовую рощу, и не можешь отвести глаз, все в золоте. на березках вместо листочков висят золотые монетки, и, кажется, что от одного дуновения ветерка они начнут тут же звенеть. золотом осыпает осень и парки, особенно липы. идешь и радуешься такой красоте. и начинаешь понимать, почему поэты так любили воспевать осень. а иногда просто слов нет, ну невозможно описать все ту красоту, которая открывается перед тобой. гуляешь по парку и не можешь нагуляться, так не хочется оставлять эту красоту. красиво рано утром, когда хорошая погода. золотые деревья просто сияют на фоне яркого голубого неба. нельзя не восхищаться природой, нет ничего прекраснее нее. ах! как здорово, просто дух захватывает от всего этого великолепия. золотая осень не уходи, порадуй нас еще немножко. но, к сожалению, это время короткое, и вот уже через неделю, деревья начинают сбрасывать свое убранство. а как не хочется расставаться со сказкой, как хочется еще полюбоваться живописными золотыми пейзажами.
Найдем сумму первых натуральных чисел по формуле сумме первых членов арифметической прогрессии:
Рассмотрим числитель дроби: - произведение двух подряд идущих натуральных чисел, значит одно из них четное, а другое нечетное. Если четное число делится только на 2, но не делится на 4, то при вычислении значения дроби множитель "2" сократится и получившийся результат будет нечетным. Если четное число делится хотя бы на 4, то при вычислении значения дроби один множитель "2" сократится, но еще как минимум один множитель "2" останется и результат будет четным.
Итак, для четного результата сложения необходимо, чтобы хотя бы один из множителей произведения делился на 4.
1 случай: делится на 4 (или же можно сказать, что при делении на 4 дает остаток 0).
2 случай: делится на 4, тогда при делении на 4 дает остаток 3.
Если эти условия не выполняются, то результат сложения будет нечетным. То есть, можно сказать, что это происходит, когда при делении на 4 дает остаток 1 или 2.
ответ: четный результат - когда при делении на 4 дает в остатке 0 или 3; нечетный результат - когда при делении на 4 дает в остатке 1 или 2.
Найдем сумму первых
натуральных чисел по формуле сумме первых 
членов арифметической прогрессии:
Рассмотрим числитель дроби:
- произведение двух подряд идущих натуральных чисел, значит одно из них четное, а другое нечетное. Если четное число делится только на 2, но не делится на 4, то при вычислении значения дроби множитель "2" сократится и получившийся результат будет нечетным. Если четное число делится хотя бы на 4, то при вычислении значения дроби один множитель "2" сократится, но еще как минимум один множитель "2" останется и результат будет четным.
Итак, для четного результата сложения необходимо, чтобы хотя бы один из множителей произведения
делился на 4.
1 случай:
делится на 4 (или же можно сказать, что 
при делении на 4 дает остаток 0).
2 случай:
делится на 4, тогда 
при делении на 4 дает остаток 3.
Если эти условия не выполняются, то результат сложения будет нечетным. То есть, можно сказать, что это происходит, когда
при делении на 4 дает остаток 1 или 2.
ответ: четный результат - когда
при делении на 4 дает в остатке 0 или 3; нечетный результат - когда 
при делении на 4 дает в остатке 1 или 2.