Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одной и той же точки замкнутой трассы. Они должны пробежать несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них оставалось треть километра до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго. Запишите решение и ответ.
а)
y =x² - 3x - 4
С осью ординат (oy) :
y = 0² - 3*0 - 4 = - 4 → точка A₁(0 ; - 4)
С осью абсцисс (ox) :
0 = x² - 3x - 4 ;
D =3² -4*1(-4) =25 =5² ;
x₁ =(3-5)/2 = -1 → точка A₂(-1 ; 0)
x₂ =(3+5)/2 =4 → точка A₃(4 ; 0)
ответ : A₁(0 ; - 4) , A₂(-1 ; 0) , A₃(4 ; 0) .
б) решается аналогично
y = -2x² - 8x +10
С осью ординат (oy) :
y = -2*0² - 8*0 +10 → точка A₁(0 ;10)
С осью абсцисс (ox) :
-2x² - 8x +10 =0 ; || *(-1/2) ||
x² + 4x -5 =0 ;
D/4 =2² -1*(-5) =9 =3² ;
x₁ =(-2-3) = -5 → точка A₂(-5 ; 0)
x₂ =(-2+3) =1 → точка A₃(1 ; 0)
ответ : A₁(0 ; 10) , A₂(- 5 ; 0) , A₃(1 ; 0) .
Дана функция у = 2х³ - 6х + 5.
1) Область определения функции - ограничений нет, х ∈ (-∞; +∞).
Точки разрыва функции - нет.
2) Четность или нечетность функции.
y(-x)=-2·x3+6·x+5 ≠ у(х). Функция общего вида
3) Периодичность функции - нет.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y : x=0, y=5
Пересечение с осью 0X
y=0
2·x³-6·x+5=0 . Решается по методу Кардано.
x1=-2.0536232
5) Исследование на экстремум y = 2*x^3-6*x+5.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 6·x²-6
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
6·x² - 6 = 0 , 6(x²- 1) = 0.
Откуда: x1 = -1 , x2 = 1.
(-∞ ;-1) (-1; 1) (1; +∞)
f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция возрастает функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная f''(x) = 12·x.
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю: 12·x = 0.
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
(-∞ ;0) (0; +∞)
f''(x) < 0 f''(x) > 0
функция выпукла функция вогнута
6) Асимптоты кривой.
y = 2·x³-6·x+5.
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соответствующие пределы находим:
• lim x³-6x+5, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
• lim x³-6x+5, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+∞ и x->-∞. Находим пределы:
• lim x³-6x+5/x, x->+∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует,
• lim x³-6x+5/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.