Два путника отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов А и Б, расстояние между которыми 40 км. Через 4 ч расстояние между ними сократилось на 2 км, а ещё через 3 ч первому путнику осталось пройти до пункта Б на 9 км меньше, чем второму до А. Найдите скорости путников.
Сгруппируем члены с переменной ху:
7ху - 3ху3 = ху(7 - 3х2)
Сгруппируем члены с переменной х3у:
6х3у - 2х3у = х3у(6 - 2) = 4х3у
Таким образом, подобные члены в многочлене 7ху + 6х3у — 3ху3 — 2х3у: 4х3у + ху(7 - 3х2)
2. Многочлен стандартного вида представляет собой сумму мономов, в которых переменные входят в одну степень, упорядоченных по убыванию степеней.
Из предложенных вариантов многочленов стандартного вида, только 3) 23х3у — 4х3у + 7х2у удовлетворяет этому условию.
3. Два многочлена считаются тождественно равными, если их коэффициенты при одинаковых степенях переменных совпадают.
Рассмотрим максимальную степень переменных в многочлене 12х4у — 7ху: степень по х - 4, степень по у - 1.
Теперь рассмотрим варианты многочленов и проверим, совпадают ли коэффициенты при одинаковых степенях переменных:
1) 13х2ух — 7ху — х4у:
- степень по х - 4, степень по у - 1, коэффициенты при одинаковых степенях переменных не совпадают;
2) 11x2yx — 7xy + x4y:
- степень по х - 4, степень по у - 1, коэффициенты при одинаковых степенях переменных не совпадают;
3) 5х4у — 7ху + 7х4у:
- степень по х - 4, степень по у - 1, коэффициенты при одинаковых степенях переменных не совпадают;
4) 5х4у:
- степень по х - 4, степень по у - 1, коэффициенты при одинаковых степенях переменных совпадают.
Таким образом, многочлен, тождественно равный многочлену 12х4у — 7ху, это 4) 5х4у.
4. Чтобы найти значение многочлена 85а2b4 — 7аb3 — 5аb2 — 83а2b4 + 6аb3 при а = 2, b = -3, нужно подставить значения переменных вместо соответствующих переменных в многочлен и выполнить вычисления.
Подставим значения:
85(2)2(-3)4 — 7(2)(-3)3 — 5(2)(-3)2 — 83(2)2(-3)4 + 6(2)(-3)3
Упростим данное выражение:
85(4)(81) — 7(2)(-27) — 5(2)(9) — 83(4)(81) + 6(2)(-27)
27240 — (-378) — 90 — 271224 + (-324)
27240 + 378 — 90 — 271224 — 324
26904 — 90 — 271224 — 324
-244830
Таким образом, значение многочлена 85а2b4 — 7аb3 — 5аb2 — 83а2b4 + 6аb3 при а = 2, b = -3 равно -244830.
5. Чтобы привести многочлен 4х2ух — 3ху2 — 4ух3 + 8 к стандартному виду, нужно сложить подобные члены и упорядочить их по убыванию степеней переменных.
Подобные члены в данном многочлене:
- 4ух3 и 4х2ух - у них одинаковая степень переменных;
- 3ху2 и 8 - у них нет других членов с переменными.
Следовательно, приведенный к стандартному виду многочлен будет:
- 4ух3 + 4х2ух - 3ху2 + 8.
Степень этого многочлена равна 3, так как наибольшая степень переменных - 3.
Давайте посмотрим на каждое заданное значение по очереди:
1) Когда y = -8:
Подставляем y = -8 в уравнение и получаем:
-8 = x² - 2x - 8
Переносим все члены уравнения влево:
x² - 2x - 8 + 8 + 8 = 0
x² - 2x = 0
Факторизуем левую часть:
x(x - 2) = 0
Теперь используем свойство равенства произведения нулей:
x = 0 или x - 2 = 0
Таким образом, у нас два значения x: 0 и 2.
2) Когда y = -5:
Подставляем y = -5 в уравнение и получаем:
-5 = x² - 2x - 8
Переносим все члены уравнения влево:
x² - 2x - 8 + 8 + 5 = 0
x² - 2x - 3 = 0
Факторизуем левую часть:
(x - 3)(x + 1) = 0
Теперь используем свойство равенства произведения нулей:
x - 3 = 0 или x + 1 = 0
Решаем эти уравнения:
x = 3 или x = -1
Таким образом, у нас два значения x: 3 и -1.
3) Когда y = 0:
Подставляем y = 0 в уравнение и получаем:
0 = x² - 2x - 8
Переносим все члены уравнения влево:
x² - 2x - 8 = 0
Факторизуем левую часть:
(x - 4)(x + 2) = 0
Теперь используем свойство равенства произведения нулей:
x - 4 = 0 или x + 2 = 0
Решаем эти уравнения:
x = 4 или x = -2
Таким образом, у нас два значения x: 4 и -2.
4) Когда y = 7:
Подставляем y = 7 в уравнение и получаем:
7 = x² - 2x - 8
Переносим все члены уравнения влево:
x² - 2x - 8 - 7 = 0
x² - 2x - 15 = 0
Факторизуем левую часть:
(x - 5)(x + 3) = 0
Теперь используем свойство равенства произведения нулей:
x - 5 = 0 или x + 3 = 0
Решаем эти уравнения:
x = 5 или x = -3
Таким образом, у нас два значения x: 5 и -3.
Теперь, если рассмотреть все полученные значения x, мы видим, что x = 0, 2, 3, 4, 5 и -2, -1, -3 являются действительными значениями переменной x, при которых функция y = x²-2x-8 принимает заданные значения.