ЕЩЁ ДОКИНУ 80 1. Варя и Капа получили по одинаковому прямоугольному листу. Каждая разрезала его на два меньших прямоугольника. У Вариных прямоугольников периметры равны 19 см каждый. У Капиных — 38 см каждый. Какой был периметр у исходного листа?
2. Есть карточки с числами от 1 до 13. Таня, Коля, Гена и Маша взяли по 3 карточки, а одна карточка потеряна. Причём суммы написанных чисел у них оказались одинаковыми. Известно, что Тане досталась карточка «11», Коле «7», Гене «9». А какие карточки достались Маше? Если есть более одного варианта, укажи несколько.
( начисляются только за полностью верный ответ!)
3. На математическом кружке не более 114 человек. На нём есть Даши (хотя бы одна). Если выбрать наугад одного ученика, вероятность, что он умнее любой Даши — 29. А вероятность, что он глупее любой Даши — 27. Вероятность, что ученик, носящий имя, отличное от имени Даша, не умнее и не глупее всех Даш — не менее 14. Какое наибольшее число девочек с именем Даша может быть на кружке?
4. Константин нашёл 4 палочки длиной 2, 5, 6 и 8 сантиметров. Не ломая их, он собирает разные треугольники, используя каждый раз ровно 3 палочки. Сколько разных треугольников сможет собрать Константин?
5. Антон и Боря получили одинаковый комплект задач на кружке. Известно, что оба мальчика каждую задачу приходили сдавать 2, 3 или 5 раз. У преподавателя отмечено, что Антон приходил сдавать задачи 97 раз(-а), а Боря — 42 раз(-а). Могло ли такое быть? Если да, сколько задач было на кружке?
( начисляются только за полностью верный ответ!)
6. Известно, что НОК натуральных чисел a и b (где a больше b), на 23 больше НОД этих же чисел. Найди все такие пары чисел. Запиши все возможные значения a по возрастанию через запятую и все соответствующие им значения b.
7. Каждую из букв заменить цифрой от 1 до 9 так, чтобы выполнялось равенство К⋅Р⋅У⋅Г=К⋅В⋅А⋅Д⋅Р⋅А⋅Т . Разные буквы заменяются на разные цифры, одинаковые на одинаковые. Какие значения может принимать буква Т при А=2 ? (Если значений несколько, выбери их все; начисляются только за полностью верный ответ!)
8. Перед сценой полукругом расположены 39 мягких кресел для VIP-персон. На концерт пришло только 19 VIP-персон, и они пожелали рассесться так, чтобы у каждого не оказалось рядом занятого кресла. Сколькими они могут занять места? (Важно, какие места заняты, но неважно, кто именно там сидит.)
9. На доске выписаны 100 дробей: 25/2046, 26/2047, 27/2048… 124/2145. Толик сокращает все дроби, которые сможет. Сколько дробей Толик не сможет сократить?
10. Жизнерадостный Пятачок, сообщив Иа хорошую новость, начинает бегать в два раза быстрее, чем прежде, а сообщив плохую — в два раза медленнее. Меланхоличный Иа, услышав хорошую новость, расстраивается и начинает двигаться в два раза медленнее, а услышав плохую, он со словами «я так и думал» продолжает идти с той же скоростью. Утром Пятачок бегал в 4 раз быстрее, чем шёл Иа, а к вечеру он ходил в 16 раз медленнее Иа. Известно, что плохих новостей он рассказал за день в целое число раз больше, чем хороших. Сколько хороших новостей он мог рассказать? (Если значений несколько, выбери их все; начисляются только за полностью верный ответ!)
11. В поезд сели люди, занимая места — верхнее или нижнее, но возможно, что не было никого на верхних или на нижних полках. Проводница у каждого спросила: «Среди остальных пассажиров вагона сколько человек едут на нижней полке?» Все дали верный ответ. Проводница сложила все ответы и получила число 42. Найди разницу между числом пассажиров, едущих сверху и снизу, если никто не назвал число меньше 3.
12. На уроке учитель спросил Андрея, какие признаки равенства треугольников он знает, кроме трёх основных. Андрей назвал несколько признаков. Какие из них действительно верны (гарантируют равенство двух треугольников)? ( начисляются только за полностью верный ответ!)
По углу, биссектрисе, выходящей из этого угла, и стороне, не принадлежащей данному углу
По стороне, медиане и углу между ними
По двум сторонам и высоте, выходящей из общего для этих сторон угла
По углу и двум сторонам
По биссектрисе и двум углам
Производная этой функции равна:
Так как переменная производной находится в знаменателе, то производная не равна 0 и поэтому функция не имеет ни минимума, ни максимума.
1 f(x) = (- 3 / (x + 1)³) - 2 Область определения функции
Точки, в которых функция точно не определена:x1 = -1.
Функция только убывающая:
-1 > x >-∞ и ∞ > x >-1.
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = , значит надо решить уравнение: 1 -------- - 2 = 0 3 (x + 1) Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение 2/3 2 x1 = -1 + ---- 2 Численное решениеx1 = -0.206299474016
Точки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в 1/((x + 1)^3) - 2.1 -- - 2 3 1 Результат:f(0) = -1Точка:(0, -1)
График функции f = 1/((x + 1)^3) приведен в приложении.
2Экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx -3 ---------------- = 0 3 (x + 1)*(x + 1) Решаем это уравнение. Решения не найдены,значит экстремумов у функции нет
Точки перегибов. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 12 -------- = 0 5 (1 + x) Решаем это уравнение. Решения не найдены,значит перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты. Есть:x1 = -1
Горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 1 lim -------- - 2 = -2 x->-oo 3 (x + 1) значит,уравнение горизонтальной асимптоты слева:y = -2 1 lim -------- - 2 = -2 x->oo 3 (x + 1) значит,уравнение горизонтальной асимптоты справа:y = -2
Наклонные асимптоты. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/((x + 1)^3) - 2, делённой на x при x->+oo и x->-oo 1 -------- - 2 3 (x + 1) lim ------------ = 0 x->-oo x значит,наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа 1 -------- - 2 3 (x + 1) lim ------------ = 0 x->oo x значит,наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции. Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 1 1 -------- - 2 = -2 + -------- 3 3 (x + 1) (1 - x) - Нет 1 1 -------- - 2 = 2 - -------- 3 3 (x + 1) (1 - x) - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Обозначим объём воды в бассейне за 1(единицу), а наполнение водой бассейна в час первой трубой за (х), а второй трубой за час (у),
тогда наполнение бассейна водой обеими трубами наполняется за:
1/ ((х+у)=6 (часов)
Если наполнить бассейн первой трубой, бассейн наполнится за:
1/х=10 (часов)
Решим эту систему уравнений:
1/(х+у)=6
1/х=10
1=6*(х+у)
1=10*х
1=6х+6у
1=10х
Из второго уравнения найдём значение (х)
х=1:10
х=0,1
Подставим значение (х) в уравнение: 1=6х+6у
1=6*0,1+6у
6у=1-0,6
6у=0,4
у=0,4 :6
у=4/10 : 6=4/10*6=4/60=2/15
И так как заполнение бассейна второй трубой в час равно у=2/15,
то вторая труба заполнит бассейн за :
1 : 2/15=15/2=7,5 (часа)
ответ: Бассейн заполнится второй трубой за 7,5 часов