Для решения данной задачи посмотрим на формулу общего члена геометрической прогрессии:
bn = b1 * q^(n-1)
где bn - n-ый член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии (отношение двух соседних членов прогрессии).
Нам даны значения b3 = 0,27 и b5 = 2,43. Нам также известно, что b3 = b1 * q^(3-1) и b5 = b1 * q^(5-1).
Давайте решим первое уравнение относительно b1:
0,27 = b1 * q^2
Разделим оба выражения на (q^2):
0,27/q^2 = b1
Теперь решим второе уравнение относительно q:
2,43 = b1 * q^4
Разделим оба выражения на b1:
2,43/b1 = q^4
Теперь подставим выражение для b1 из первого уравнения во второе:
2,43/(0,27/q^2) = q^4
Упростим выражение в числителе:
2,43 * q^2 / 0,27 = q^4
Допустим, что знаменатель в этом выражении равен 1 (можно привести его к единичной дроби):
2,43 * q^2 / 0,27 * 1/1 = q^4
Упростим этот продукт:
(2,43 * q^2 * 1) / (0,27 * 1) = q^4
Теперь можно сократить подобные слагаемые в числителе и знаменателе:
2,43 * q^2 / 0,27 = q^4
Сократим десятичные дроби:
9 * q^2 = q^4
Перенесем слагаемые на одну сторону уравнения:
q^4 - 9 * q^2 = 0
Факторизуем левую часть:
q^2 * (q^2 - 9) = 0
Разложим скобку на два множителя:
q^2 * (q + 3) * (q - 3) = 0
Получили 3 значения q: q1 = 0, q2 = -3 и q3 = 3.
Согласно формуле общего члена прогрессии, мы не можем брать ноль в качестве знаменателя прогрессии. Поэтому, q2 = -3 и q3 = 3 являются вырожденными случаями и нам не подходят.
Мы получили, что b1 = 0,27/q^2.
Если q = 3, то b1 = 0,27/(3^2) = 0,027.
Теперь у нас есть b1 и q, и мы можем найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии по формуле:
S7 = b1 * (q^7 - 1)/(q - 1)
Подставим значения b1 = 0,027 и q = 3:
S7 = 0,027 * (3^7 - 1)/(3 - 1)
Вычислим степень:
S7 = 0,027 * (2187 - 1)/2
Вычислим вычитание:
S7 = 0,027 * 2186/2
Вычислим деление:
S7 = 0,027 * 1093
Найдем значение выражения:
S7 = 29,511
Значение суммы первых семи членов геометрической прогрессии равно 29,511.
Ни один из предложенных ответов (32,79; 31,67; 16,41; 14,12; 18,56) не соответствует нашему результату. Возможно, в задаче была ошибка, или вы внесли неверные данные.
bn = b1 * q^(n-1)
где bn - n-ый член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии (отношение двух соседних членов прогрессии).
Нам даны значения b3 = 0,27 и b5 = 2,43. Нам также известно, что b3 = b1 * q^(3-1) и b5 = b1 * q^(5-1).
Давайте решим первое уравнение относительно b1:
0,27 = b1 * q^2
Разделим оба выражения на (q^2):
0,27/q^2 = b1
Теперь решим второе уравнение относительно q:
2,43 = b1 * q^4
Разделим оба выражения на b1:
2,43/b1 = q^4
Теперь подставим выражение для b1 из первого уравнения во второе:
2,43/(0,27/q^2) = q^4
Упростим выражение в числителе:
2,43 * q^2 / 0,27 = q^4
Допустим, что знаменатель в этом выражении равен 1 (можно привести его к единичной дроби):
2,43 * q^2 / 0,27 * 1/1 = q^4
Упростим этот продукт:
(2,43 * q^2 * 1) / (0,27 * 1) = q^4
Теперь можно сократить подобные слагаемые в числителе и знаменателе:
2,43 * q^2 / 0,27 = q^4
Сократим десятичные дроби:
9 * q^2 = q^4
Перенесем слагаемые на одну сторону уравнения:
q^4 - 9 * q^2 = 0
Факторизуем левую часть:
q^2 * (q^2 - 9) = 0
Разложим скобку на два множителя:
q^2 * (q + 3) * (q - 3) = 0
Получили 3 значения q: q1 = 0, q2 = -3 и q3 = 3.
Согласно формуле общего члена прогрессии, мы не можем брать ноль в качестве знаменателя прогрессии. Поэтому, q2 = -3 и q3 = 3 являются вырожденными случаями и нам не подходят.
Мы получили, что b1 = 0,27/q^2.
Если q = 3, то b1 = 0,27/(3^2) = 0,027.
Теперь у нас есть b1 и q, и мы можем найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии по формуле:
S7 = b1 * (q^7 - 1)/(q - 1)
Подставим значения b1 = 0,027 и q = 3:
S7 = 0,027 * (3^7 - 1)/(3 - 1)
Вычислим степень:
S7 = 0,027 * (2187 - 1)/2
Вычислим вычитание:
S7 = 0,027 * 2186/2
Вычислим деление:
S7 = 0,027 * 1093
Найдем значение выражения:
S7 = 29,511
Значение суммы первых семи членов геометрической прогрессии равно 29,511.
Ни один из предложенных ответов (32,79; 31,67; 16,41; 14,12; 18,56) не соответствует нашему результату. Возможно, в задаче была ошибка, или вы внесли неверные данные.