Двое снегоуборщиков очищали территорию Сибирского федерального университета от снега. После того как первый проработал 3 часа, а второй – 7 часов, оказалось, что они выполнили 40% всей работы. Проработав совместно еще 5 часов, они осознали, что им осталось выполнить еще 635 всей работы. За сколько часов, работая отдельно, каждый из них мог бы очистить эту территорию?
сумма корней квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .
в случае квадратного уравнения формулы виета имеют вид:
значимость теоремы виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных и . теорема виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
. используя теорему виета, найти корни уравнения
решение. согласно теореме виета, имеем, что
подбираем значения и , которые удовлетворяют этим равенствам. легко видеть, что им удовлетворяют значения
и
ответ. корни уравнения ,
обратная теорема виета
если числа и удовлетворяют соотношениям , то они удовлетворяют квадратному уравнению , то есть являются его корнями.
. зная, что числа и - корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.
решение. пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:
тогда, согласно теореме виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:
тогда
то есть искомое уравнение
ответ.
общая формулировка теоремы виета
если - корни многочлена (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
иначе говоря, произведение равно сумме всех возможных произведений из корней.
В решении.
Объяснение:
Двое снегоуборщиков очищали территорию Сибирского федерального университета от снега. После того как первый проработал 3 часа, а второй – 7 часов, оказалось, что они выполнили 40% всей работы. Проработав совместно еще 5 часов, они осознали, что им осталось выполнить еще 635 всей работы. За сколько часов, работая отдельно, каждый из них мог бы очистить эту территорию?
1 - вся территория (вся работа).
х - производительность 1 снегоуборщика.
у - производительность 2 снегоуборщика.
По условию задачи система уравнений:
3*х + 7*у = 0,4
(х + у)*5 = 1 - 0,4 - 6/35
Вычислить: 1 - 0,4 - 6/35 = 0,6 - 6/35 = 3/5 - 6/35 = 15/35 = 3/7.
(х + у)*5 = 3/7
Умножить уравнение на 7, чтобы избавиться от дробного выражения:
35*(х + у) = 3
Система уравнений к решению:
3х + 7у = 0,4
35х + 35у = 3
Выразить х через у в первом уравнении, подставить выражение во второе уравнение и вычислить у:
х = (0,4 - 7у)/3
35*(0,4 - 7у)/3 + 35у = 3
Умножить уравнение на 3, чтобы избавиться от дробного выражения:
35*(0,4 - 7у) + 105у = 9
14 - 245у + 105у = 9
- 140у = 9 - 14
-140у = -5
у = -5/-140
у = 1/28 - производительность 2 снегоуборщика.
х = (0,4 - 7у)/3
х = (0,4 - (7*1/28))/3
х = (0,4 - 0,25)/3
х = 0,15/3
х = 0,05 = 5/100 = 1/20 - производительность 1 снегоуборщика.
За сколько часов, работая отдельно, каждый из них мог бы очистить эту территорию?
1 : 1/28 = 28 (часов) - 2 снегоуборщик.
1 : 1/20 = 20 (часов) - 1 снегоуборщик.
Проверка:
3 * 1/20 + 7 * 1/28 = 3/20 + 1/4 = 8/20 = 0,4, верно.
5*(1/20 + 1/28) = 5 * 3/35 = 3/7, верно.
сумма корней квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .
в случае квадратного уравнения формулы виета имеют вид:
значимость теоремы виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных и . теорема виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
. используя теорему виета, найти корни уравнения
решение. согласно теореме виета, имеем, что
подбираем значения и , которые удовлетворяют этим равенствам. легко видеть, что им удовлетворяют значения
и
ответ. корни уравнения ,
обратная теорема виета
если числа и удовлетворяют соотношениям , то они удовлетворяют квадратному уравнению , то есть являются его корнями.
. зная, что числа и - корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.
решение. пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:
тогда, согласно теореме виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:
тогда
то есть искомое уравнение
ответ.
общая формулировка теоремы виета
если - корни многочлена (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
иначе говоря, произведение равно сумме всех возможных произведений из корней.