Фермеру треба зорати 200 га поля. Він перевищив денну норму на 5 га, тому все поле зорав на 2 дні раніше запланованого терміну. Скільки днів фермер орав поле?
Для того чтобы проверить, является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенной или неопределенной, нам необходимо найти дискриминант квадратичной формы.
В нашем случае, у нас есть следующая квадратичная форма:
Теперь найдем дискриминант квадратичной формы. Для этого, нам нужно найти главные миноры матрицы, которая составлена из коэффициентов при квадратичных членах.
Матрица будет выглядеть следующим образом:
| -4 4 0 |
| 4 -4 -8 |
| 0 -8 2 |
Для главного минора первого порядка (минор D1), нам понадобится только первый элемент матрицы:
D1 = -4
Для главного минора второго порядка (минор D2), нам понадобятся первые два элемента главной диагонали матрицы и определитель получившейся матрицы:
D2 = |-4 4 |
| 4 -4 | = -4*(-4) - 4*4 = -16
Для главного минора третьего порядка (минор D3), нам понадобятся все элементы матрицы и определитель получившейся матрицы:
Теперь давайте проанализируем полученные главные миноры.
Если все главные миноры положительны, то квадратичная форма положительно определена.
Если все главные миноры отрицательны через четное число главных миноров, то квадратичная форма отрицательно определена.
Если главные миноры имеют разные знаки, или через нечетное число главных миноров равны нулю, то квадратичная форма неопределена.
В нашем случае, главные миноры имеют следующие значения:
D1 = -4
D2 = -16
D3 = -224
Исходя из данных значений, мы видим, что все три главных минора отрицательны. Так как через четное число главных миноров, квадратичная форма является отрицательно определенной.
Ответ: Квадратичная форма -4x1^2 - 4x2^2 + 2x3^2 - 4x1x2 + 8x1x2 - 8x2x3 является отрицательно определенной.
Для начала, мы можем приравнять x в обоих уравнениях системы. Для этого умножим второе уравнение на -3. Таким образом, система примет вид:
1) 10y - 3x = -7,
2) -3(10y + x) = -3(2).
Упростим второе уравнение:
1) 10y - 3x = -7,
2) -30y - 3x = -6.
Теперь мы можем сложить оба уравнения. Сумма левых и правых частей равна:
(10y - 3x) + (-30y - 3x) = (-7) + (-6).
Упрощаем обе части уравнения:
10y - 3x - 30y - 3x = -7 - 6,
-20y - 6x = -13.
Из этого уравнения мы можем найти значение x и y:
-20y - 6x = -13.
Для нахождения x можно использовать уравнение 2):
10y + x = 2.
Разрешим это уравнение относительно x:
x = 2 - 10y.
Подставим найденное значение x в уравнение -20y - 6x = -13:
-20y - 6(2 - 10y) = -13.
Упростим это уравнение:
-20y - 12 + 60y = -13,
40y - 12 = -13,
40y = -13 + 12,
40y = -1.
Теперь найдем значение y, разделив обе части на 40:
y = -1 / 40.
Подставим найденное значение y в уравнение 2) для нахождения x:
x = 2 - 10(-1 / 40),
x = 2 + 10 / 40,
x = 2 + 1 / 4,
x = 2 1/4.
Таким образом, получили решение системы уравнений:
x = 2 1/4,
y = -1 / 40.
Теперь можем проверить полученные значения, подставив их в оба исходных уравнения системы:
1) 10y - 3x = -7.
При подстановке x = 2 1/4 и y = -1 / 40 получаем:
10(-1 / 40) - 3(2 1/4) = -7.
Упростим это уравнение:
-1/4 - 3*9/4 = -7,
-1/4 - 27/4 = -7,
-28/4 = -7,
-7 = -7.
Таким образом, первое уравнение выполняется. Теперь проверим второе уравнение системы:
2) 10y + x = 2.
При подстановке x = 2 1/4 и y = -1 / 40 получаем:
10(-1 / 40) + 2 1/4 = 2.
Упростим это уравнение:
-1/4 + 9/4 = 2,
8/4 = 2,
2 = 2.
Второе уравнение также выполняется.
Таким образом, решение системы уравнений:
x = 2 1/4,
y = -1 / 40.
В нашем случае, у нас есть следующая квадратичная форма:
Q(x1, x2, x3) = -4x1^2 - 4x2^2 + 2x3^2 - 4x1x2 + 8x1x2 - 8x2x3
Для начала, давайте преобразуем данную форму, чтобы сгруппировать все одинаковые члены:
Q(x1, x2, x3) = -4x1^2 + (8x1x2 - 4x1x2) - 4x2^2 + (2x3^2 - 8x2x3)
Q(x1, x2, x3) = -4x1^2 + 4x1x2 - 4x2^2 + 2x3^2 - 8x2x3
Теперь найдем дискриминант квадратичной формы. Для этого, нам нужно найти главные миноры матрицы, которая составлена из коэффициентов при квадратичных членах.
Матрица будет выглядеть следующим образом:
| -4 4 0 |
| 4 -4 -8 |
| 0 -8 2 |
Для главного минора первого порядка (минор D1), нам понадобится только первый элемент матрицы:
D1 = -4
Для главного минора второго порядка (минор D2), нам понадобятся первые два элемента главной диагонали матрицы и определитель получившейся матрицы:
D2 = |-4 4 |
| 4 -4 | = -4*(-4) - 4*4 = -16
Для главного минора третьего порядка (минор D3), нам понадобятся все элементы матрицы и определитель получившейся матрицы:
D3 = |-4 4 0 |
| 4 -4 -8 |
| 0 -8 2 | = -4*( (-4)*2 - (-8)*(-8) ) - 4*(4*2 - (-8)*0) + 0*(4*(-8) - (-4)*(-8))
= -4*(-16 + 64) - 4*8 + 0 = -4*48 - 32 = -192 - 32 = -224
Теперь давайте проанализируем полученные главные миноры.
Если все главные миноры положительны, то квадратичная форма положительно определена.
Если все главные миноры отрицательны через четное число главных миноров, то квадратичная форма отрицательно определена.
Если главные миноры имеют разные знаки, или через нечетное число главных миноров равны нулю, то квадратичная форма неопределена.
В нашем случае, главные миноры имеют следующие значения:
D1 = -4
D2 = -16
D3 = -224
Исходя из данных значений, мы видим, что все три главных минора отрицательны. Так как через четное число главных миноров, квадратичная форма является отрицательно определенной.
Ответ: Квадратичная форма -4x1^2 - 4x2^2 + 2x3^2 - 4x1x2 + 8x1x2 - 8x2x3 является отрицательно определенной.