Фирма производит ткацкие станки двух видов А и В, каждый вид приносит соответственно 10 и 15 денежных единиц прибыли. Количество станков, которое может быть произведено в течении недели ограниченно поставками комплектующих С1, С2 и С3, где для А требуется 1шт. изделия С1, 2шт. изделия С2 и 3шт. изделия С3; для В требуется 3шт. изделия С1, 1шт. изделия С2 и 1шт. изделия С3. Каждую неделю поставляется соответственно 54, 52 и 60 изделий С1, С2 и С3. Определить, сколько ткацких станков каждого вида нужно выпускать в неделю, чтобы прибыль была максимальной. Решить симплекс-методом.
Давайте разберемся сначала, какие данные у нас есть. Первое, что нужно заметить, это то, что фирма производит два вида ткацких станков - А и В. Прибыль от продажи станка типа А составляет 10 денежных единиц, а от станка типа В - 15 денежных единиц. Наша задача - определить, сколько станков каждого вида нужно производить, чтобы максимизировать прибыль.
Другая важная информация - количество станков ограничено поставками комплектующих С1, С2 и С3. Для производства одного станка типа А требуется 1 штука изделия С1, 2 штуки изделия С2 и 3 штуки изделия С3. Для производства одного станка типа В требуется 3 штуки изделия С1, 1 штука изделия С2 и 1 штука изделия С3. Каждую неделю поставляется соответственно 54 изделия С1, 52 изделия С2 и 60 изделий С3.
Итак, давайте составим математическую модель этой задачи, чтобы решить ее с помощью симплекс-метода. Обозначим:
- Х1 = количество станков типа А, которое фирма должна производить в неделю,
- Х2 = количество станков типа В, которое фирма должна производить в неделю.
Теперь у нас есть следующие ограничения:
1) Ограничение на количество комплектующих С1: Для каждого станка типа А требуется 1 изделие С1, а для каждого станка типа В требуется 3 изделия С1. Таким образом, общее количество использованных изделий С1 должно быть равно 1 * Х1 + 3 * Х2 и не должно превышать поставку, то есть 1 * Х1 + 3 * Х2 ≤ 54.
2) Ограничение на количество комплектующих С2: Для каждого станка типа А требуется 2 изделия С2, а для каждого станка типа В требуется 1 изделие С2. Таким образом, общее количество использованных изделий С2 должно быть равно 2 * Х1 + 1 * Х2 и не должно превышать поставку, то есть 2 * Х1 + 1 * Х2 ≤ 52.
3) Ограничение на количество комплектующих С3: Для каждого станка типа А требуется 3 изделия С3, а для каждого станка типа В требуется 1 изделие С3. Таким образом, общее количество использованных изделий С3 должно быть равно 3 * Х1 + 1 * Х2 и не должно превышать поставку, то есть 3 * Х1 + 1 * Х2 ≤ 60.
4) Ограничение по неотрицательности: Количество станков каждого типа не может быть отрицательным, то есть Х1 ≥ 0 и Х2 ≥ 0.
Таким образом, у нас есть четыре линейных ограничения для оптимизации прибыли.
Теперь приступим к решению задачи с помощью симплекс-метода.
1. Вначале составим симплекс-таблицу:
| Базисные переменные | C1 | C2 | C3 | Правая часть |
|---------------------|-----|----|----|--------------|
| Искусственная | 1 | 2 | 3 | 0 |
| Функция | 10 | 15 | 0 | 0 |
| Х1 | 1 | 0 | 3 | 54 |
| Х2 | 3 | 1 | 1 | 52 |
| Х3 | 0 | 2 | 1 | 60 |
2. Выберем ведущий столбец. Внимательно посмотрим на коэффициенты в столбце Функции и выберем столбец с наибольшим отрицательным коэффициентом. В данном случае это столбец C1.
3. Выберем ведущую строку. Для этого разделим правую часть на элементы, соответствующие выбранному ведущему столбцу. В данном случае это 54/1, 52/3 и 60/0.5. Выбираем строку с наименьшим положительным результатом. В данном случае это строка Х3.
4. Произведем пересчет элементов согласно приведенным формулам. Во всех остальных ячейках таблицы мы оставляем элементы без изменений.
Искусственная = Искусственная - (Х3 * столбец C1)
Функция = Функция - (Х3 * столбец C1)
Х1 = Х1 - (Х3 * столбец C1)
Х2 = Х2 - (Х3 * столбец C1)
| Базисные переменные | C1 | C2 | C3 | Правая часть |
|---------------------|-----|----|----|--------------|
| Искусственная | 0 | 0 | 1 | 30 |
| Функция | 10 | 15 | 0 | -180 |
| Х1 | 1 | 0 | 0 | 24 |
| Х2 | 3 | 1 | 0 | -18 |
| Х3 | 0 | 2 | 1 | 60 |
После пересчета таблицы мы видим, что ведущий столбец теперь равен C2.
5. Повторяем шаги 3 и 4, пока не достигнем оптимального решения. В данном случае мы проведем еще одну итерацию:
| Базисные переменные | C1 | C2 | C3 | Правая часть |
|---------------------|-----|----|----|--------------|
| Искусственная | 0 | 0 | 1 | 22.5 |
| Функция | 4 | 0 | -15 | -337.5 |
| Х1 | 1 | 0 | 0 | 27 |
| Х2 | 0 | 1 | -0.5 | 6 |
| Х3 | 0 | 0 | 1 | 15 |
Когда мы достигаем оптимального решения, коэффициенты функции в последней строке становятся равными нулю. В данном случае это C1 и C3.
Теперь можно сделать выводы из решения системы ограничений и сформулировать ответ на вопрос задачи.
Из симплекс-таблицы видно, что оптимальным решением будет производство 27 станков типа А и 6 станков типа В в неделю. При этом фирма получит максимальную прибыль - 337.5 денежных единиц.
Надеюсь, я смог разъяснить эту задачу и помочь вам понять решение симплекс-методом. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!