Дана функция f(x)=12x-x³ найти а) промежутки возрастания и убывания. Находим производную. y' = 12 - 3x² и приравняем нулю. 12 - 3x² = 3(4 - x²) = 0. Отсюда находим 2 критические точки: х = 2 и х = -2. Имеем 3 промежутка монотонности: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; +∞). На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. x = -3 -2 0 2 3 y' = -15 0 12 0 -15. Функция возрастает на промежутке (-2; 2), убывает на промежутках (-∞; -2) и (2; +∞).
б) точки мах и min. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. В точке х = -2 минимум функции, в точке х = 2 максимум функции.
в) наибольшее и наименьшее значение на [-1;3]. Минимум на этом промежутке в точке х = -1, у = 12*(-1)-(-1)³ = -11. Максимум по пункту б) в точке х = 2.
Пусть скорость товарного поезда x км/ч ,
скорость пассажирского поезда y км/ч .
CB = 4x км ;
CA = 6y км ;
AB = (4x +6y ) км ;
Товарный поезд путь между пунктами А и В преодолеет за
t₁ =AB/x =(4x +6y ) /x = (4 +6y/x) = (4 +6t₀ )часов ;
пассажирского поезд →за t₂= AB/y =(6y+4x) /y =(6+4x/y)=(6+4/t₀)часов.
Можем составить уравнение :
6y/x - 4x/y =5 , замена z = y/x >0
6z - 4/z -5 =0 ;
6z² - 5z - 4 =0 ; D =5² -4*6*(-4) =25+96=121 =11²
z₁ = (5-11)/12 = -1/2 посторонний корень ;
z₂ = (5+11)/12 = 4/3.
t₀ =y/x = 4/3
t₁ = 4 +6t₀= 4 +6*4/3 =12 (часов).
t₂= 6+4/t₀ =6 +4 /(4/3) = 9 (часов).
ответ : 12 ч , 9 ч .
найти
а) промежутки возрастания и убывания.
Находим производную.
y' = 12 - 3x² и приравняем нулю.
12 - 3x² = 3(4 - x²) = 0.
Отсюда находим 2 критические точки: х = 2 и х = -2.
Имеем 3 промежутка монотонности: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; +∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
x = -3 -2 0 2 3
y' = -15 0 12 0 -15.
Функция возрастает на промежутке (-2; 2),
убывает на промежутках (-∞; -2) и (2; +∞).
б) точки мах и min.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
В точке х = -2 минимум функции,
в точке х = 2 максимум функции.
в) наибольшее и наименьшее значение на [-1;3].
Минимум на этом промежутке в точке х = -1, у = 12*(-1)-(-1)³ = -11.
Максимум по пункту б) в точке х = 2.