Функцию у=f(x) называют возрастающей на промежутке X,
если из неравенства x1
Обрати внимание!
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Пример:
1) функция y=3x возрастает на промежутке (−∞;+∞).
2) Функция y=x2 возрастает на промежутке [0;+∞).
Функцию у=f(x) называют убывающей на промежутке X,
если из неравенства x1f(x2).
Обрати внимание!
Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пример:
1) функция y=−3x убывает на промежутке (−∞;+∞).
2) Функция y=x2 убывает на промежутке (−∞;0].
Возрастающие функции и убывающие функции называют монотонными функциями.
Исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность
Неравенства https://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/neravenstva-11023/svoistva-chislovykh-neravenstv-12298/re-50146c03-746c-47db-80b9-c9a4e42f582e
Теория:
Неравенства вида a>b и c>d или a
называют неравенствами одинакового смысла.
Неравенства вида a>b и cd (т. е. неравенства с разными, противоположными знаками),
называют неравенствами противоположного смысла.
Например, неравенства x>−5 и y>17 являются неравенствами одинакового смысла,
а неравенства x<−5 и y>17 — неравенствами противоположного смысла.
Если одновременно выполняются два условия —
x>a и x
то можно записать вместо двух неравенств одно двойное неравенство a
Множество всех значений переменной x двойного неравенства a
Двойное неравенство читается с середины: x больше a, но меньше b.
Например, 47,2
Основные свойства числовых неравенств https://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/neravenstva-11023/svoistva-chislovykh-neravenstv-12298/re-2968c0bc-e121-400b-a804-6c3f0fdb2355
Свойство 1. Если a>b и b>c, то a>c.
Проверим на примере.
Пусть a=6, b=0, c=−4, тогда, если 6>0 и 0>−4, то 6>−4.
Свойство 2. Если a>b, то a+c>b+c.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Свойство 3. Если a>b и k>0, то ak>bk.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Пример:
известно, что 17,2
При умножении двойного неравенства на положительное число 2
получим неравенство того же смысла (т. е. знаки не изменятся).
17,2⋅2
Свойство 4. Если a>b и k<0, то ak
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число,
то знак неравенства изменится (< на >, > на <).
Пример:
известно, что 17,2
При умножении двойного неравенства на отрицательное число −2
получим неравенство противоположного смысла (т. е. знаки изменятся).
17,2⋅(−2)>x⋅(−2)>17,3⋅(−2);−34,4>−2x>−34,6;−34,6<−2x<−34,4.
Обрати внимание!
Деление на число k можно заменить умножением на дробь 1/k.
Сложение и вычитание неравенств https://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/neravenstva-11023/svoistva-chislovykh-neravenstv-12298/re-1c579e31-252d-4790-8bf2-a47a77ae6ec8
Если a>b и c>d, то a+c>b+d.
Неравенства одного смысла можно складывать.
Рассмотрим два примера.
Пример:
1. известно, что 1,2
Оценить x+y.
При сложении двойных неравенств одинакового смысла получим неравенство того же смысла (т. е. знаки не изменятся).
1,2
17
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
18,2
2. Известно, что 1,2
Оценить x−
x=−7x+40x−10
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
-10 + x
получим:
x(x−10)=1x−10(−7x+40)(x−10)
x(x−10)=−7x+40
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
x(x−10)=−7x+40
в
x(x−10)+7x−40=0Раскроем выражение в уравнении
x(x−10)+7x−40=0Получаем квадратное уравнение
x2−3x−40=0
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c.
Квадратное уравнение можно решить
с дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
x1=D‾‾√−b2a
x2=−D‾‾√−b2a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a=1
b=−3
c=−40
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-3)^2 - 4 * (1) * (-40) = 169
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
x1=8
x2=−5
ответ: x=-5
4y^2 + 15y - 4 = 0
(y + 4)(4y - 1) = 0
y1 = -4 - не подходит
y = 1/4 = (1/4)^x
x = 1
2) 3^x = -x + 1 = 1 - x
3^x > 0 при любом х, поэтому 1 - x > 0; x < 1
При x = 0 будет 3^0 = 1 - 0 = 1 - подходит
При x ∈ (0; 1) будет 3^x > 1; а 1 - x < 1 - корней нет
При x < 0 будет 3^x < 1; 1 - x > 1 - корней нет
x = 0
3) 3^x*9*3^(1/5) - ?
Здесь нет ни уравнения, ни неравенства
4) 2^(4x) >= 16
2^(4x) >= 2^4
4x >= 4
x >= 1
5) (1/4)^(2x-5) > 1/8
(1/2)^(4x-10) > (1/2)^3
Функция y = (1/2)^x - убывающая, потому что 1/2 < 1.
При переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется.
4x - 10 < 3
x < 13/4
6) 5^(2x-3) - 2*5^(x-2) > 3
1/125*5^(2x) - 2/25*5^x - 3 > 0
Умножаем всё на 125
5^(2x) - 10*5^x - 375 > 0
Замена 5^x = y > 0 при любом x
y^2 - 10y - 375 > 0
(y - 25)(y + 15) > 0
y = -15 < 0 - нет корней
y = 25 = 5^x
x = 2