Игра, установленная на мобильном телефоне, состоит в последовательном прохождении нескольких уровней. за прохождение каждого уровня игрок получает 20 . кроме того, начисляются и премиальные по следующей схеме: 4 за второй уровень и за каждые следующий уровень на 4 больше, чем за предыдущий. игрок несколько уровней, и на его счету оказалось ровно 800 . сколько всего премиальных получил игрок?
У нас есть информация о том, что за прохождение каждого уровня игрок получает 20 и начисляются премиальные по следующей схеме: 4 за второй уровень и за каждые следующий уровень на 4 больше, чем за предыдущий. Также у нас есть информация, что игрок прошёл несколько уровней, и на его счету оказалось ровно 800 .
Давайте использовать логический подход к решению задачи. Мы знаем, что игрок прошел более двух уровней, потому что за второй уровень начисляется премиальные. Если бы был только один уровень, то на счету игрока было бы 20 очков (за прохождение уровня) и никаких премиальных. Также мы знаем, что игрок имеет на счету 800 , что больше, чем сумма полученных очков за прохождение уровней.
Давайте обозначим количество пройденных игроком уровней за переменной "n". Тогда за прохождение каждого уровня игрок получает 20 очков, а за каждый следующий уровень начисляется на 4 больше, чем за предыдущий уровень. Таким образом, сумма полученных очков за прохождение всех уровней может быть выражена формулой:
сумма_очков = 20n + 4 + 8 + 12 + ... + x
Здесь "x" - количество премиальных за последний пройденный уровень. Заметим, что количество премиальных за каждый следующий уровень на 4 больше, чем за предыдущий уровень. Это арифметическая прогрессия. Сумма арифметической прогрессии может быть выражена следующей формулой:
сумма_прогрессии = (первый_член + последний_член) * количество_членов / 2
В нашем случае первый_член = 4, последний_член = x, количество_членов = (n-1). Заметим, что мы выбрали (n-1) вместо "n" для числа членов, потому что мы уже включили первый уровень в игру, но он не является премиальным.
Таким образом, сумма полученных очков за прохождение всех уровней может быть переписана в следующем виде:
сумма_очков = 20n + (4 + x) * (n-1) / 2
Мы также знаем, что на счету игрока оказалось ровно 800 . То есть:
сумма_очков = 800
Подставим значение суммы очков и перепишем уравнение:
800 = 20n + (4 + x) * (n-1) / 2
Умножим обе части уравнения на 2 для избавления от дроби:
1600 = 40n + (4 + x) * (n-1)
Распределим множители в скобках:
1600 = 40n + (4n - 4 + x)
Упростим уравнение:
1600 = 44n - 4 + x
Добавим 4 к обеим частям уравнения:
1604 = 44n + x
Теперь у нас есть система уравнений:
сумма_очков = 800 (условие задачи)
1604 = 44n + x
Давайте решим эту систему уравнений. Для этого мы можем воспользоваться методом подстановки. Исключим "x" из уравнений. Из второго уравнения выразим "x":
x = 1604 - 44n
Подставим выражение для "x" в первое уравнение:
800 = 20n + (1604 - 44n)
Раскроем скобки:
800 = 1604 - 24n
Перенесем 1604 на другую сторону уравнения:
-804 = -24n
Разделим обе части уравнения на -24:
33.5 = n
Округлим "n" до ближайшего целого числа:
n = 34
Теперь, когда мы знаем количество пройденных уровней ("n"), мы можем найти количество премиальных, полученных игроком. Заметим, что количество премиальных равно "x" за последний уровень. Подставим значения второго уровня и количества пройденных уровней в формулу для премиальных:
x = 1604 - 44n
x = 1604 - 44 * 34
x = 1604 - 1496
x = 108
Итак, игрок получил 108 премиальных за последний прошедший уровень.
Чтобы найти количество всего премиальных, полученных игроком, мы должны просуммировать премиальные за каждый пройденный уровень. Мы знаем, что за второй уровень начисляется 4 премиальных, а за каждый следующий уровень на 4 больше, чем за предыдущий. Это значит, что каждый уровень начиная со второго даёт на 4 премиальных больше, чем предыдущий. Мы можем использовать арифметическую прогрессию для суммирования премиальных.
Количество всего премиальных можно найти следующим образом:
количество_премиальных = 4 + (4 + 4) + ... + (4 + 4 * (n-2))
количество_премиальных = количество_членов_прогрессии * (первый_член + последний_член) / 2
Здесь количество_членов_прогрессии = (n-1), первый_член = 4, последний_член = 4 + 4 * (n-2) = 4 + 4n - 8 = 4n - 4. Подставим значения:
количество_премиальных = (n-1) * (4 + 4n - 4) / 2
количество_премиальных = (n-1) * 4n / 2
количество_премиальных = 2 * (n-1) * n
количество_премиальных = 2n^2 - 2n
Подставим значение "n":
количество_премиальных = 2 * (34^2) - 2 * 34
количество_премиальных = 2 * 1156 - 68
количество_премиальных = 2312 - 68
количество_премиальных = 2244
Итак, игрок получил 2244 премиальных за все пройденные уровни игры.