Игральную кость бросали 64 раза.Найдите математические ожидания дисперсию и стандартное отклонение случайной величины x равной числу выпадения четного числа очков
Математическое ожидание (M) случайной величины равной числу выпадения четного числа очков мы можем найти, используя формулу:
M = Σ(x * P(x))
где x - значение случайной величины (в нашем случае, число выпадения четного числа очков), а P(x) - вероятность этого значения.
Чтобы рассчитать вероятность выпадения четного числа очков, нам нужно знать, сколько всего возможных значений у случайной величины, а также сколько из них являются четными.
У игральной кости 6 граней, и только при выпадении чисел 2, 4 или 6 на кубике можно получить четное число очков. Значит, у нас 3 возможных четных значений для случайной величины x (т.е. x может принимать значения 0, 1, 2 или 3).
Теперь нам нужно найти вероятность каждого значения x.
Вероятность выпадения четного числа очков равна отношению количества четных значений к общему количеству возможных значений:
P(X = 0) = 1/6 (вероятность, что выпадет 0 четных чисел равна шансу получить все нечетные числа, т.е. (1+3+5)/6 )
P(X = 1) = 3/6 (вероятность, что выпадет 1 четное число равна шансу получить одно четное число из трех возможных, т.е. (2+4+6)/6)
P(X = 2) = 2/6 (вероятность, что выпадет 2 четных числа равна шансу получить два четных числа из трех возможных, т.е. (2+4+6)/6)
P(X = 3) = 0/6 (вероятность, что выпадет 3 четных числа равна нулю, так как у нас есть только 3 возможных четных числа)
Теперь мы можем рассчитать математическое ожидание:
M = (0 * 1/6) + (1 * 3/6) + (2 * 2/6) + (3 * 0/6)
M = 0 + 1/2 + 2/3 + 0
M = 0 + 1/2 + 4/6
M = 0 + 3/6 + 4/6
M = 7/6
M = 1.17
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 1.17.
Далее, чтобы найти дисперсию, мы можем использовать формулу:
Var(X) = Σ((x - M)^2 * P(x))
где x - значение случайной величины, M - математическое ожидание (которое мы уже вычислили), а P(x) - вероятность этого значения.
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 0.4042.
И, наконец, стандартное отклонение (σ) можно найти как квадратный корень из дисперсии:
σ = √(Var(X))
σ = √(0.4042)
σ ≈ 0.6367
Таким образом, стандартное отклонение случайной величины X равно приблизительно 0.6367.
Это подробное решение должно помочь школьнику понять, как найти математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение для данной случайной величины.
Математическое ожидание (M) случайной величины равной числу выпадения четного числа очков мы можем найти, используя формулу:
M = Σ(x * P(x))
где x - значение случайной величины (в нашем случае, число выпадения четного числа очков), а P(x) - вероятность этого значения.
Чтобы рассчитать вероятность выпадения четного числа очков, нам нужно знать, сколько всего возможных значений у случайной величины, а также сколько из них являются четными.
У игральной кости 6 граней, и только при выпадении чисел 2, 4 или 6 на кубике можно получить четное число очков. Значит, у нас 3 возможных четных значений для случайной величины x (т.е. x может принимать значения 0, 1, 2 или 3).
Теперь нам нужно найти вероятность каждого значения x.
Вероятность выпадения четного числа очков равна отношению количества четных значений к общему количеству возможных значений:
P(X = 0) = 1/6 (вероятность, что выпадет 0 четных чисел равна шансу получить все нечетные числа, т.е. (1+3+5)/6 )
P(X = 1) = 3/6 (вероятность, что выпадет 1 четное число равна шансу получить одно четное число из трех возможных, т.е. (2+4+6)/6)
P(X = 2) = 2/6 (вероятность, что выпадет 2 четных числа равна шансу получить два четных числа из трех возможных, т.е. (2+4+6)/6)
P(X = 3) = 0/6 (вероятность, что выпадет 3 четных числа равна нулю, так как у нас есть только 3 возможных четных числа)
Теперь мы можем рассчитать математическое ожидание:
M = (0 * 1/6) + (1 * 3/6) + (2 * 2/6) + (3 * 0/6)
M = 0 + 1/2 + 2/3 + 0
M = 0 + 1/2 + 4/6
M = 0 + 3/6 + 4/6
M = 7/6
M = 1.17
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 1.17.
Далее, чтобы найти дисперсию, мы можем использовать формулу:
Var(X) = Σ((x - M)^2 * P(x))
где x - значение случайной величины, M - математическое ожидание (которое мы уже вычислили), а P(x) - вероятность этого значения.
Рассчитаем дисперсию:
Var(X) = (0 - 1.17)^2 * (1/6) + (1 - 1.17)^2 * (3/6) + (2 - 1.17)^2 * (2/6) + (3 - 1.17)^2 * (0/6)
Var(X) = (-1.17)^2 * (1/6) + (-0.17)^2 * (3/6) + (0.83)^2 * (2/6) + (1.83)^2 * (0/6)
Var(X) = 1.3667 * (1/6) + 0.0283 * (3/6) + 0.4867 * (2/6) + 0 * (0/6)
Var(X) = 0.2278 + 0.0142 + 0.1622
Var(X) = 0.4042
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 0.4042.
И, наконец, стандартное отклонение (σ) можно найти как квадратный корень из дисперсии:
σ = √(Var(X))
σ = √(0.4042)
σ ≈ 0.6367
Таким образом, стандартное отклонение случайной величины X равно приблизительно 0.6367.
Это подробное решение должно помочь школьнику понять, как найти математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение для данной случайной величины.