Добрый день!
Для решения данного уравнения сначала приведем его к виду t^2-2t-15=0, используя метод замены переменной.
Исходное уравнение: x^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 24} = 39.
1. Заменим на новую переменную t, то есть .
Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом: x^{2} - 2t = 39.
2. Возводим оба выражения уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Получаем следующее:
x^{2} = 2t + 39.
3. Теперь заменим в этом уравнении t на .
Получаем: x^{2} = 2\sqrt{x^{2}-24} + 39.
4. Возводим оба выражения уравнения в квадрат еще раз:
(x^{2})^{2} = (2\sqrt{x^{2}-24} + 39)^{2}.
5. Раскрываем скобки:
x^{4} = (2\sqrt{x^{2}-24})^{2} + 2\cdot2\cdot2\sqrt{x^{2}-24}\cdot 39 + 39^{2}.
6. Упрощаем полученное уравнение:
x^{4} = 4(x^{2}-24) + 8\sqrt{x^{2}-24}\cdot 39 + 1521.
7. Далее, заменим на t:
x^{4} = 4(x^{2}-24) + 8t\cdot 39 + 1521.
8. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
x^{4} = 4x^{2} - 96 + 312t + 1521.
9. Далее, упрощаем уравнение:
x^{4} - 4x^{2} + 312t - 1617 = 0.
10. Наконец, записываем это уравнение в виде t^{2} - 2t - 15 = 0, заменяя переменную x^{2} на t:
t^{2} - 2t - 15 = 0.
Мы успешно привели исходное уравнение к нужному виду.
Чтобы увидеть, что корни уравнения t^{2} - 2t - 15 = 0 равны t = 3 и t = -5, подставим значения t обратно в выражение для t, которое мы получили на первом шаге.
t = \sqrt{x^{2}-24}.
Для t = 3 получаем:
3 = \sqrt{x^{2}-24}.
Возводим оба выражения в квадрат:
9 = x^{2}-24.
Прибавляем 24 к обеим сторонам:
x^{2} = 33.
Извлекаем квадратный корень:
x = \pm \sqrt{33}.
Для t = -5 получаем:
-5 = \sqrt{x^{2}-24}.
Возводим оба выражения в квадрат:
25 = x^{2}-24.
Прибавляем 24 к обеим сторонам:
x^{2} = 49.
Извлекаем квадратный корень:
x = \pm 7.
Таким образом, мы получили, что корни исходного уравнения x^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 24} = 39 равны x = \pm \sqrt{33} и x = \pm 7.
используя метод замены переменной приведите данное уравнение к виду t^2-2t-15=0 
