Для доказательства данного утверждения нам необходимо использовать определение отношения "меньше" через сложение, которое гласит:
Для любых натуральных чисел a и b, говорят, что a < b, если существует натуральное число c, такое что a + c = b.
Для начала рассмотрим два случая:
1) Если a < b, то a + c < b + c для любого натурального числа c.
2) Если a = b, то a + c = b + c для любого натурального числа c.
Если a < b, то для двух натуральных чисел a и b существует натуральное число c, такое что a + c = b.
Мы можем взять это равенство и сложить его с любым натуральным числом d:
(a + c) + d = b + d.
Используя ассоциативность сложения, мы можем переписать это выражение в виде a + (c + d) = b + d.
Поскольку c и d - натуральные числа, то их сумма (c + d) также будет натуральным числом.
Поэтому мы можем заменить c + d на натуральное число e:
a + e = b + d.
Получили равенство, которое означает, что a < b + d для любого натурального числа d.
Таким образом, мы доказали, что если a < b, то a < b + d для любого натурального числа d.
Теперь рассмотрим случай, когда a = b.
Если a = b, то для двух натуральных чисел a и b выполняется равенство a + c = b.
Мы можем взять это равенство и добавить к нему любое натуральное число d:
(a + c) + d = b + d.
Используя ассоциативность сложения, мы можем записать это равенство в виде a + (c + d) = b + d.
Поскольку количество натуральных чисел (c + d) также будет натуральным числом, мы можем заменить c + d на натуральное число e:
a + e = b + d.
Это равенство означает, что a < b + d для любого натурального числа d.
Таким образом, мы доказали, что если a = b, то a < b + d для любого натурального числа d.
Таким образом, мы доказали, что для любых натуральных чисел a, b, c справедливо утверждение:
"Если a < b, то a < b + d для любого натурального числа d".
Для любых натуральных чисел a и b, говорят, что a < b, если существует натуральное число c, такое что a + c = b.
Для начала рассмотрим два случая:
1) Если a < b, то a + c < b + c для любого натурального числа c.
2) Если a = b, то a + c = b + c для любого натурального числа c.
Если a < b, то для двух натуральных чисел a и b существует натуральное число c, такое что a + c = b.
Мы можем взять это равенство и сложить его с любым натуральным числом d:
(a + c) + d = b + d.
Используя ассоциативность сложения, мы можем переписать это выражение в виде a + (c + d) = b + d.
Поскольку c и d - натуральные числа, то их сумма (c + d) также будет натуральным числом.
Поэтому мы можем заменить c + d на натуральное число e:
a + e = b + d.
Получили равенство, которое означает, что a < b + d для любого натурального числа d.
Таким образом, мы доказали, что если a < b, то a < b + d для любого натурального числа d.
Теперь рассмотрим случай, когда a = b.
Если a = b, то для двух натуральных чисел a и b выполняется равенство a + c = b.
Мы можем взять это равенство и добавить к нему любое натуральное число d:
(a + c) + d = b + d.
Используя ассоциативность сложения, мы можем записать это равенство в виде a + (c + d) = b + d.
Поскольку количество натуральных чисел (c + d) также будет натуральным числом, мы можем заменить c + d на натуральное число e:
a + e = b + d.
Это равенство означает, что a < b + d для любого натурального числа d.
Таким образом, мы доказали, что если a = b, то a < b + d для любого натурального числа d.
Таким образом, мы доказали, что для любых натуральных чисел a, b, c справедливо утверждение:
"Если a < b, то a < b + d для любого натурального числа d".