Хорошо, давайте докажем, что предел функции lim(3x-1) при x стремящемся к какому-либо значению равен 2, используя определение предела.
Определение предела функции в точке гласит следующее: для каждого положительного числа ε, найдется положительное число δ, такое что если x находится в проколотой окрестности точки c, то |f(x) - L| < ε.
1. Найдем основное выражение:
f(x) = 3x - 1
2. Предположим, что предел функции равен 2:
lim(3x-1) = 2
3. Теперь мы должны доказать, что для каждого положительного значения ε найдется положительное значение δ, удовлетворяющее определению предела.
7. Значит, если выбрать положительное значение δ = ε/3, то при условии |x - 1| < δ будет выполняться неравенство 3|x - 1| < ε.
8. Таким образом, мы доказали, что предел функции lim(3x-1) при x стремящемся к 1 равен 2, используя определение предела.
Надеюсь, это объяснение понятно и поможет вам понять, как использовать определение предела для доказательства заданных пределов функций. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Определение предела функции в точке гласит следующее: для каждого положительного числа ε, найдется положительное число δ, такое что если x находится в проколотой окрестности точки c, то |f(x) - L| < ε.
1. Найдем основное выражение:
f(x) = 3x - 1
2. Предположим, что предел функции равен 2:
lim(3x-1) = 2
3. Теперь мы должны доказать, что для каждого положительного значения ε найдется положительное значение δ, удовлетворяющее определению предела.
4. Раскроем абсолютное значение:
|f(x) - L| = |(3x - 1) - 2| = |3x - 3| = 3|x - 1|
5. Теперь нам нужно найти такое значене δ, чтобы если |x - c| < δ, то 3|x - 1| < ε.
6. Пусть δ = ε/3. Тогда, если |x - 1| < δ, то 3|x - 1| = 3*δ = 3*(ε/3) = ε.
7. Значит, если выбрать положительное значение δ = ε/3, то при условии |x - 1| < δ будет выполняться неравенство 3|x - 1| < ε.
8. Таким образом, мы доказали, что предел функции lim(3x-1) при x стремящемся к 1 равен 2, используя определение предела.
Надеюсь, это объяснение понятно и поможет вам понять, как использовать определение предела для доказательства заданных пределов функций. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!