Хорошо, давайте посчитаем данный интеграл шаг за шагом.
Интеграл, который нам нужно посчитать, имеет вид:
∫(от -√3 до +√3) √(3-x^2) dx.
Для начала, заметим, что под интегралом у нас стоит функция √(3-x^2), которая описывает часть единичного окружности в первой четверти (по теореме Пифагора: x^2 + y^2 = 3, где y = √(3-x^2)). Таким образом, мы можем использовать эту информацию для упрощения задачи.
Далее, проведем замену переменной. Пусть x = √3 sin(t), где t - новая переменная. Тогда dx = √3 cos(t) dt.
Используем эти замены в нашем интеграле:
∫(от -√3 до +√3) √(3-x^2) dx = ∫(от -π/3 до +π/3) √(3 - (√3sin(t))^2) √3cos(t) dt.
Упростив выражение под интегралом и объединив √3cos(t), получаем:
∫(от -π/3 до +π/3) √(3 - 3sin^2(t)) √3cos(t) dt = 3∫(от -π/3 до +π/3) cos^2(t) dt.
Используя формулу двойного угла для косинуса (cos^2(t) = (1 + cos(2t))/2), получаем:
3∫(от -π/3 до +π/3) (1 + cos(2t))/2 dt.
Разобьем данный интеграл на два отдельных интеграла:
(3/2)∫(от -π/3 до +π/3) dt + (3/2)∫(от -π/3 до +π/3) cos(2t) dt.
Первый интеграл ∫(от -π/3 до +π/3) dt просто равен длине данной части окружности, которая равна 2π/3.
Во втором интеграле ∫(от -π/3 до +π/3) cos(2t) dt можно произвести замену u = 2t, тогда du = 2 dt. Таким образом, он превращается в:
(3/4)∫(от -2π/3 до +2π/3) cos(u) du.
Интеграл ∫(от -2π/3 до +2π/3) cos(u) du равен sin(u) от -2π/3 до +2π/3, то есть sin(2π/3) - sin(-2π/3), что равно корню из 3.
Таким образом, наш итоговый ответ:
(3/2) * (2π/3) + (3/4) * (корень из 3) = π + (корень из 3).
Таким образом, интеграл от -√3 до +√3 √(3-x^2) dx равен π + корень из 3.
Используя геометрический смысл интеграла интеграл от - корень из 3 до + корень из 3 корень(3-х^2)=площади полукруга радиусом корень(3)=
=pi*(корень(3))^2=3pi
Интеграл, который нам нужно посчитать, имеет вид:
∫(от -√3 до +√3) √(3-x^2) dx.
Для начала, заметим, что под интегралом у нас стоит функция √(3-x^2), которая описывает часть единичного окружности в первой четверти (по теореме Пифагора: x^2 + y^2 = 3, где y = √(3-x^2)). Таким образом, мы можем использовать эту информацию для упрощения задачи.
Далее, проведем замену переменной. Пусть x = √3 sin(t), где t - новая переменная. Тогда dx = √3 cos(t) dt.
Используем эти замены в нашем интеграле:
∫(от -√3 до +√3) √(3-x^2) dx = ∫(от -π/3 до +π/3) √(3 - (√3sin(t))^2) √3cos(t) dt.
Упростив выражение под интегралом и объединив √3cos(t), получаем:
∫(от -π/3 до +π/3) √(3 - 3sin^2(t)) √3cos(t) dt = 3∫(от -π/3 до +π/3) cos^2(t) dt.
Используя формулу двойного угла для косинуса (cos^2(t) = (1 + cos(2t))/2), получаем:
3∫(от -π/3 до +π/3) (1 + cos(2t))/2 dt.
Разобьем данный интеграл на два отдельных интеграла:
(3/2)∫(от -π/3 до +π/3) dt + (3/2)∫(от -π/3 до +π/3) cos(2t) dt.
Первый интеграл ∫(от -π/3 до +π/3) dt просто равен длине данной части окружности, которая равна 2π/3.
Во втором интеграле ∫(от -π/3 до +π/3) cos(2t) dt можно произвести замену u = 2t, тогда du = 2 dt. Таким образом, он превращается в:
(3/4)∫(от -2π/3 до +2π/3) cos(u) du.
Интеграл ∫(от -2π/3 до +2π/3) cos(u) du равен sin(u) от -2π/3 до +2π/3, то есть sin(2π/3) - sin(-2π/3), что равно корню из 3.
Таким образом, наш итоговый ответ:
(3/2) * (2π/3) + (3/4) * (корень из 3) = π + (корень из 3).
Таким образом, интеграл от -√3 до +√3 √(3-x^2) dx равен π + корень из 3.