В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
aleksseveme
aleksseveme
15.05.2021 11:10 •  Алгебра

Исследовать сходимость ряда

\frac{1! }{1} +\frac{2! }{2^2} ++\frac{n! }{n^n}+/tex]

Показать ответ
Ответ:
лера1405
лера1405
09.10.2020 23:27

\displaystyle \dfrac{1!}{1^1}+\dfrac{2!}{2^2}+...+\dfrac{n!}{n^n}=\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{n!}{n^n}

Здесь общий член ряда a_n=\dfrac{n!}{n^n}. Тогда по признаку Коши

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}~~ =\boxed{=}

По формуле Стирлинга n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n, мы получим

\boxed{=}~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(2\pi n)^{1/2n}\cdot\frac{n}{e}}{n}=\dfrac{1}{e}

Данный ряд сходится.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота