Исследуем функцию, заданную формулой: yx=x3-3x Область определения: множество всех действительных чисел Первая производная: y'x=3x2-3 x3-3x' = =x3'-3x' = =3x2-3x' = =3x2-3•1 = =3x2-3 Вторая производная: y''x=6x Вторая производная это производная от первой производной. 3x2-3' = =3x2'-3' = =3x2'-0 = =3x2' = =32x = =3•2x = =3•2x = =6x Точки пересечения с осью x : x=-3;x=0;x=3 Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. x3-3x=0 Решаем уравнение методом разложения на множители. xx2-3=0 решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 . x=0 Случай 2 . x2-3=0 Перенесем известные величины в правую часть уравнения. x2=3 ответ этого случая: x=-3;x=3 . ответ: x=-3;x=0;x=3 . Точки пересечения с осью y : y=0 Пусть x=0 y0=03-3•0=0 Вертикальные асимптоты: нет Горизонтальные асимптоты: нет . Наклонные асимптоты: нет . yx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности. yxx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности. Критические точки: x=-1;x=1 Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. 3x2-3=0 3x2=3 x2=3:3 x2=1 ответ: x=-1;x=1 . Возможные точки перегиба: x=0 Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. 6x=0 x=0:6 x=0 ответ: x=0 . Точки разрыва: нет Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). yx-y-x = =x3-3x--x3-3-x = =x3-3x--x3+3-x = =x3-3x+x3-3x = =2x3+-6x = =2x3-6x 2x3-6x≠0 y-x≠yx Симметрия относительно начала координат: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). yx+y-x = =x3-3x+-x3-3-x = =x3-3x+-x3-3-x = =x3-3x-x3+3x = =x3-3x-x3+3x = =0 y-x=-yx Относительные экстремумы: Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум 1;-2 . Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум -1;2 . Множество значений функции: множество всех действительных чисел Наименьшее значение: нет Наибольшее значение: нет
Область определения: множество всех действительных чисел
Первая производная: y'x=3x2-3
x3-3x' =
=x3'-3x' =
=3x2-3x' =
=3x2-3•1 =
=3x2-3
Вторая производная: y''x=6x
Вторая производная это производная от первой производной.
3x2-3' =
=3x2'-3' =
=3x2'-0 =
=3x2' =
=32x =
=3•2x =
=3•2x =
=6x
Точки пересечения с осью x : x=-3;x=0;x=3
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
x3-3x=0
Решаем уравнение методом разложения на множители.
xx2-3=0
решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1 .
x=0
Случай 2 .
x2-3=0
Перенесем известные величины в правую часть уравнения.
x2=3
ответ этого случая: x=-3;x=3 .
ответ: x=-3;x=0;x=3 .
Точки пересечения с осью y : y=0
Пусть x=0
y0=03-3•0=0
Вертикальные асимптоты: нет
Горизонтальные асимптоты: нет .
Наклонные асимптоты: нет .
yx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности.
yxx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности.
Критические точки: x=-1;x=1
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
3x2-3=0
3x2=3
x2=3:3
x2=1
ответ: x=-1;x=1 .
Возможные точки перегиба: x=0
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
6x=0
x=0:6
x=0
ответ: x=0 .
Точки разрыва: нет
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
yx-y-x =
=x3-3x--x3-3-x =
=x3-3x--x3+3-x =
=x3-3x+x3-3x =
=2x3+-6x =
=2x3-6x
2x3-6x≠0
y-x≠yx
Симметрия относительно начала координат: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
yx+y-x =
=x3-3x+-x3-3-x =
=x3-3x+-x3-3-x =
=x3-3x-x3+3x =
=x3-3x-x3+3x =
=0
y-x=-yx
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).
Относительный минимум 1;-2 .
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).
Относительный максимум -1;2 .
Множество значений функции: множество всех действительных чисел
Наименьшее значение: нет
Наибольшее значение: нет