Исследуйте и постройте функцию y=x^/x^2+1

а) y = -x²- 8x + 2 

Найти производную


Приравнять производную к нулю и найти х, это будет точка экстремума
-2x - 8 = 0
2x = -8
x = -4

Функция y = -x²- 8x + 2  - квадратичная парабола, ветки направлены вниз, Значит, в точке   x = -4  будет максимум.

б) y = 15 + 48x - x³
Найти производную


Приравнять производную к нулю


Дальше можно через знак производной, либо через соседние точки

x = 4  Подставить в исходную функцию, а затем соседнее значение
 
Т.к. y(5) < y(4), значит функция y = -x²- 8x + 2  на интервале х∈[4; +∞) убывает, точка х = 4 является максимумом.

x = -4


Т.к. y(-5) > y(-4), значит функция y = -x²- 8x + 2  на интервале
х∈(-∞;-4] убывает, точка х = -4 является минимумом.

Сделаем замену: 


Рассмотрим, как ведут себя функции:  и 
--------------------------
первая - параболического типа,  монотонно убывает на промежутке  и монотонно растет на промежутке
вершина: 

для любого значения  из промежутка выражение  принимает положительные значения, так как вторая функция - монотонно растущая и при значении  достигает лишь нуля, в то время, как вторая функция в принципе не принимает значений меньших за .

Осталось разобраться с промежутком положительных чисел.
Для этого будем анализировать скорости роста обеих функций (их производные)


Как видим, скорость роста второй функции постоянна, при увеличении у-ка на 1, функция  прибывает на 8
Вторая же функция, скорость её изменения на интерсном нам интервале:  положительна, и уже при  равна:  (и дльше только растет) т.е, первая функция после  гарантированно растет быстрее чем вторая, при чем на момент вторая функция не успела догнать первую: 

Это и означает, что выражение  принимает исключительно положительные значения, и исходное неравенство действительных решений не имеет.
-----------------------------------------------------