Из дачного посёлка на станцию вышел пешеход. Спустя 50 минут из этого же посёлка на станцию выехал велосипедист, который догнал пешехода через 20 минут после выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 3 часа пешеход проходит на 5 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса.

Объяснение:

Даны касательные y₁ = 4·x и y₂ = -9·x к графику функции f(x)=x²+b·x+c.

Пусть прямая y₁ касается к графику функции f(x) в точке x₁, а прямая y₂ касается к графику функции f(x) в точке x₂, то есть:

f(x₁) = y₁(x₁), f'(x₁) = y₁'(x₁) , f(x₂) = y₂(x₂), f'(x₂) = y₂'(x₂)      (1).

Так как  y₁' = (4·x)' = 4, y₂' = (-9·x) = -9 и f'(x) = (x²+b·x+c)'=2·x+b, то подставляя в уравнения (1) получим 4 уравнения:

x₁²+b·x₁+c = 4·x₁       (2)

2·x₁+b = 4                 (3)

x₂²+b·x₂+c = -9·x₂     (4)

2·x₂+b = -9                (5)

Из (3) получим x₁ = (4-b)/2 и подставим в (2):

((4-b)/2)²+b·((4-b)/2)+c = 4·(4-b)/2 или

4-2·b+b²/4+2·b-b²/2+с=8-2·b.

Упростив последнее равенство и получим:

c=4+b²/4-2·b.             (6)

Из (5) получим x₂ = (-9-b)/2 и подставим в (4):

((-9-b)/2)²+b·((-9-b)/2)+c = -9·(-9-b)/2 или

81/4+9·b/2+b²/4-9·b/2-b²/2+с=81/2+9·b/2.

Упростив последнее равенство и получим:

c=81/4+b²/4+9·b/2.      (7)

Приравниваем выражения (6) и (7):

4+b²/4-2·b = 81/4+b²/4+9·b/2 или

13·b/2 = 4-81/4.

Отсюда

b = (-65/4):(13/2) = -5/2.

Подставим последнее в (6):

c= 4+(-5/2)²/4-2·(-5/2) = 4+25/16+5 = 9+25/16 = 169/16.

b = -5/2

c = 169/16

Объяснение:

y1 = 4x; y2 = -9x

f(x) = x^2 + bx + с

Уравнение касательной в точке (x0; y0):

y(x) = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)

В нашем случае точки касания (x1; y1) и (x2; y2) неизвестны

f(x0) = x0^2 + b*x0 + c

f'(x) = 2x + b; f'(x0) = 2x0 + b

y1(x) = x1^2 + b*x1 + c + f'(x1)*(x-x1) = x1^2 + b*x1 + c + (2x1+b)*(x-x1) = x1^2 + b*x1 + c + x(2x1+b) - 2x1^2 - b*x1 = x(2x1+b) + (x1^2 + b*x1 + c - 2x1^2 - b*x1) = 4x + 0

y2(x) = x2^2 + b*x2 + c + f'(x2)*(x-x2) = x2^2 + b*x2 + c + (2x2+b)*(x-x2) = x2^2 + b*x2 + c + x(2x2+b) - 2x2^2 - b*x2 = x(2x2+b) + (x2^2 + b*x2 + c - 2x2^2 - b*x2) = -9x + 0

Составляем систему 4 уравнений:

{ 2x1 + b = 4

{ x1^2 + b*x1 + c - 2x1^2 - b*x1 = 0

{ 2x2 + b = -9

{ x2^2 + b*x2 + c - 2x2^2 - b*x2 = 0

Упрощаем:

{ b = 4 - 2x1

{ c - x1^2 = 0

{ b = -9 - 2x2

{ c - x2^2 = 0

Из 1 и 3 уравнений делаем 1 уравнение, а Из 2 и 4 уравнений делаем 2 уравнение:

{ b = 4 - 2x1 = -9 - 2x2

{ c = x1^2 = x2^2

Из 2 уравнения следует, что: или x2 = x1, или x2 = -x1.

Но из 1 уравнения ясно, что не может быть x2 = x1, потому что 4 не равно -9.

Значит, x2 = -x1, подставляем:

4 - 2x1 = -9 + 2x1

4 + 9 = 2x1 + 2x1

4x1 = 13

x1 = 13/4; x2 = -x1 = -13/4

b = 4 - 2x1 = 4 - 2*13/4 = 4 - 13/2 = -5/2

c = x1^2 = (13/4)^2 = 169/16