Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.[1]:138—139
Если {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} — корни многочлена
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} выражаются в виде симметрических многочленов от корней[2], а именно:
Иначе говоря, {\displaystyle (-1)^{k}a_{k}} равно сумме всех возможных произведений из {\displaystyle k} корней.
Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.
Если старший коэффициент многочлена не равен единице:
то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на {\displaystyle a_{0}} (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:
Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.Weisstein, Eric W. Vieta's Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Viète theorem" (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)
Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.[1]:138—139
Если {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} — корни многочлена
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}}
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} выражаются в виде симметрических многочленов от корней[2], а именно:
{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}
Иначе говоря, {\displaystyle (-1)^{k}a_{k}} равно сумме всех возможных произведений из {\displaystyle k} корней.
Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.
Если старший коэффициент многочлена не равен единице:
то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на {\displaystyle a_{0}} (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:
{\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.}
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что {\displaystyle a_{0}=1}
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).}
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях {\displaystyle x} (теорема единственности), получаем формулы Виета.
Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.Weisstein, Eric W. Vieta's Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Viète theorem" (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)
(1+8)²= 1²+2*1*8+8²=1+16+64=81
(2+7)² =2²+2*2*7+7²=4+28+49=81
(3+5)²=3²+2*3*5+5²=9+30+25=64
(4+7)²=16+56+49=121
(8+4)²=64+64+16=144
(4+9)²=16+72+81=169
(7+3)²=49+42+9=100
(8+3)²=64+48+9=121
(9+3)²=81+54+9=144
(6+2)²=36+24+4=64
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(13-8)²=13²-2*13*8+8²=169-208+64=25
(18-4)²= 18²-2*18*4+4²=324-144+16=196
(13-5)²=13²-2*13*5+5²=169-130+25=64
(15-7)²=225-210+49=64
(14-9)²=196-252+81=25
(12-3)²=144-72+9=81
(17-4)²=289-136+16=169
(12-8)²=144-192+64=16
(18-6)²=324-216+36=144
(16-8)²=256-256+64=64
(a+b)(a-b) = a²-b²
(2+13)(2-13)=2²-13²=4-169=-165
(15+3)(15-3)=15²-3²=225-9=216
(14+7)(14-7)=14²-7²=196-49=147
(12+4)(12-4)=12²-4²=144-16=128
(9+17)(9-17)=9²-17²=81-289=-208
12²-7²=144-49=95
18²-5²=324-25=299
16²-8²=256-63=192
19²-6²=361-36=325
11²-2²=121-4=117
ну вот наверное)