Перенумеруем все города. Для городов i, j направим дорогу из города с меньшим номером в город с большим номером. Тогда при проезде по дорогам мы всегда приезжаем в города с большими номерами, и обратно не возвращаемся.
Из города 1 можно добраться до всех, а из n нельзя выехать. Единственный путь, проходящий все города -- это 1-2-...-n.
Теперь надо показать, что такая конструкция всего одна с точностью до перенумерации городов. Из этого будет следовать, что её осуществить ровно n!.
Для начала можно доказать, что имеется город, из которого нельзя выехать. В противном случае мы можем бесконечно долго путешествовать, и какие-то посещаемые города при этом повторятся. Это значит, что основное условие нарушается. Городу с таким свойством присвоим значение n. Он всего один, так как из остальных городов идут стрелки в n.
Далее применяем индукцию, отбрасывая город n и стрелки в него. Для оставшихся городов формируется (по предположению) единственная нумерация 1,2,...,n-1 такая, что из i в j идёт стрелка <=> i < j. Поскольку n больше всех остальных чисел, после возвращения n-го города на место всё сохранится.
Можно и без индукции. Для каждого города рассмотрим путь максимальной длины по стрелкам, оканчивающийся в данном городе. Длину такого пути ему и сопоставим. Значения могут приниматься от 0 до n-1. При этом они не повторяются: если для двух городов значения равны k, то из одного из них попадаем по ребру в другой, что увеличивает длину до k+1. Таким образом, все значения используются ровно по разу. Увеличивая их на 1, имеем описанную выше нумерацию. Ясно также, что ребро всегда идёт из i в j только при i < j.
Надеюсь, вопрос оканчивается "…на 5 остаток 4" Отталкиваемся от признаков деления на: 2 - последняя цифра делится на 2(0, 2, 4, 6, 8); 4 - число из двух последних цифр делится на 4(00, 04, 08, 12, 16…92, 96); 5 - последняя цифра делится на 5. Прибавляем необходимый остаток от деления к этим "хвостикам" и смотрим, как сочетаются варианты. Получаем, что две последние цифры числа могут быть 19, 39, 59, 79, 99. Надеюсь, установить, какое из этих чисел даёт в остатке 2 при делении на 3, получится самостоятельно.
.
Объяснение:
0
Перенумеруем все города. Для городов i, j направим дорогу из города с меньшим номером в город с большим номером. Тогда при проезде по дорогам мы всегда приезжаем в города с большими номерами, и обратно не возвращаемся.
Из города 1 можно добраться до всех, а из n нельзя выехать. Единственный путь, проходящий все города -- это 1-2-...-n.
Теперь надо показать, что такая конструкция всего одна с точностью до перенумерации городов. Из этого будет следовать, что её осуществить ровно n!.
Для начала можно доказать, что имеется город, из которого нельзя выехать. В противном случае мы можем бесконечно долго путешествовать, и какие-то посещаемые города при этом повторятся. Это значит, что основное условие нарушается. Городу с таким свойством присвоим значение n. Он всего один, так как из остальных городов идут стрелки в n.
Далее применяем индукцию, отбрасывая город n и стрелки в него. Для оставшихся городов формируется (по предположению) единственная нумерация 1,2,...,n-1 такая, что из i в j идёт стрелка <=> i < j. Поскольку n больше всех остальных чисел, после возвращения n-го города на место всё сохранится.
Можно и без индукции. Для каждого города рассмотрим путь максимальной длины по стрелкам, оканчивающийся в данном городе. Длину такого пути ему и сопоставим. Значения могут приниматься от 0 до n-1. При этом они не повторяются: если для двух городов значения равны k, то из одного из них попадаем по ребру в другой, что увеличивает длину до k+1. Таким образом, все значения используются ровно по разу. Увеличивая их на 1, имеем описанную выше нумерацию. Ясно также, что ребро всегда идёт из i в j только при i < j.
Отталкиваемся от признаков деления на:
2 - последняя цифра делится на 2(0, 2, 4, 6, 8);
4 - число из двух последних цифр делится на 4(00, 04, 08, 12, 16…92, 96);
5 - последняя цифра делится на 5.
Прибавляем необходимый остаток от деления к этим "хвостикам" и смотрим, как сочетаются варианты. Получаем, что две последние цифры числа могут быть 19, 39, 59, 79, 99.
Надеюсь, установить, какое из этих чисел даёт в остатке 2 при делении на 3, получится самостоятельно.