Известно, что некоторое число при делении на 7 даёт остаток 4, а при делении на 5 - остаток 2. какой остаток получится при делении этого числа на 35 ?

Возьмём число 32.
32 : 7 = 4 (остаток 4)
32 : 5 = 6 (остаток 2)
32 : 35 = 0 (остаток 32)
ответ: остаток 32 получится при делении числа 32 на 35.

При делении на 7 возможные остатки: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; (всего 7 вариантов)
число, кратное 5, оканчивается цифрами 0 или 5,
число, дающее при делении на 5 остаток 2, оканчивается на 2 или на 7, 
т.е. х = А + 2   или   х = В + 7; А,В∈Z 
этого вида числа при делении на 7 могут дать остатки:
  2:7 (остаток 2)              7:7 (остаток 0)
12:7 (остаток 5)            17:7 (остаток 3)
22:7 (остаток 1)            27:7 (остаток 6)
32:7 (остаток 4)           37:7 (остаток 2)
42:7 (остаток 0)            47:7 (остаток 5)
52:7 (остаток 3)            57:7 (остаток 1)
62:7 (остаток 6)            67:7 (остаток 4)
далее история повторяется...
осталось рассмотреть только два варианта:
32; 102; 172; 242...(3+7n)*10+2... при делении на 35 дают остаток 32 
30+70n+2 = 70n+32 = 35*2n+32
67; 137; 207; 277...(6+7n)*10+7... при делении на 35 дают остаток 32 
60+70n+7 = 70n+67 = 35*2n+35+32 = 35*(2n+1) + 32