Квадратичную функцию схематично можно построить по схеме: 1) определяем направление ветвей параболы; 2) находим координаты вершины параболы; 3) находим точки пересечения функции с осью ОХ; 4) находим точку пересечения функции с осью OY; 5) находим точку, симметричную точке пересечения с осью OY; 6) соединяем полученные точки плавной линией.
y=1/2x²+2x+3; 1) ветви параболы направлены вверх, так как а=1/2>0; 2) x0=-b/(2a)=-2/1=-2; y0=1/2*(-2)²+2*(-2)+3=1/2*4-4+3=2-4+3=1; Вершина параболы (-2;1). 3) OX (y=0): 1/2x²+2x+3=0; x²+4x+6=0; D=16-24=-8<0 Точек пересечения с осью ОХ нет. 4) OY (x=0); y=1/2*0²+2*0+3=3; Точка пересечения с осью OY: (0;3). 5) 1/2x²+2x+3=3; 1/2x²+2x=0; x²+4x=0; x(x+4)=0; x+4=0; x=-4. Точка, симметричная точке (0;3) - (-4;3). 6) см. на рисунке
y=-2x-4-1/3x²=-1/3x²-2x-4; 1) ветви параболы направлены вниз, так как а=-1/3<0; 2) x0=-b/(2a)=2/-2/3=-3; y0=-1/3*(-3)²-2*(-3)-4=-1/3*9+6-4=-3+6-4=-1; Вершина параболы (-3;-1). 3) OX (y=0): -1/3x²-2x-4=0; x²+6x+12=0; D=36-48=-12<0; Точек пересечения с осью ОХ нет. 4) OY (x=0); y=-1/3*0²-2*0-4=-4; Точка пересечения с осью OY: (0;-4). 5) -1/3x²-2x-4=-4; -1/3x²-2x=0; x²+6x=0; x(x+6)=0; x+6=0; x=-6 Точка, симметричная точке (0;-4) - (-6;-4). 6) см. на рисунке
y=x²-14x+49; 1) ветви параболы направлены вверх, так как а=1>0; 2) x0=-b/(2a)=14/2=7; y0=7²-14*7+49=0; Вершина параболы (7;0). 3) OX (y=0): x²-14x+49=0; (x-7)²=0; x=7 Точка пересечения с осью ОХ: (7;0). 4) OY (x=0); y=0²-14*0+49=49; Точка пересечения с осью OY: (0;49). 5) x²-14x+49=49; x²-14x=0; x(x-14)=0; x-14=0; x=14. Точка, симметричная точке (0;49) - (14;49). 6) см. на рисунке
1) определяем направление ветвей параболы;
2) находим координаты вершины параболы;
3) находим точки пересечения функции с осью ОХ;
4) находим точку пересечения функции с осью OY;
5) находим точку, симметричную точке пересечения с осью OY;
6) соединяем полученные точки плавной линией.
y=1/2x²+2x+3;
1) ветви параболы направлены вверх, так как а=1/2>0;
2) x0=-b/(2a)=-2/1=-2;
y0=1/2*(-2)²+2*(-2)+3=1/2*4-4+3=2-4+3=1;
Вершина параболы (-2;1).
3) OX (y=0):
1/2x²+2x+3=0;
x²+4x+6=0;
D=16-24=-8<0
Точек пересечения с осью ОХ нет.
4) OY (x=0);
y=1/2*0²+2*0+3=3;
Точка пересечения с осью OY: (0;3).
5) 1/2x²+2x+3=3;
1/2x²+2x=0;
x²+4x=0;
x(x+4)=0;
x+4=0;
x=-4.
Точка, симметричная точке (0;3) - (-4;3).
6) см. на рисунке
y=-2x-4-1/3x²=-1/3x²-2x-4;
1) ветви параболы направлены вниз, так как а=-1/3<0;
2) x0=-b/(2a)=2/-2/3=-3;
y0=-1/3*(-3)²-2*(-3)-4=-1/3*9+6-4=-3+6-4=-1;
Вершина параболы (-3;-1).
3) OX (y=0):
-1/3x²-2x-4=0;
x²+6x+12=0;
D=36-48=-12<0;
Точек пересечения с осью ОХ нет.
4) OY (x=0);
y=-1/3*0²-2*0-4=-4;
Точка пересечения с осью OY: (0;-4).
5) -1/3x²-2x-4=-4;
-1/3x²-2x=0;
x²+6x=0;
x(x+6)=0;
x+6=0;
x=-6
Точка, симметричная точке (0;-4) - (-6;-4).
6) см. на рисунке
y=x²-14x+49;
1) ветви параболы направлены вверх, так как а=1>0;
2) x0=-b/(2a)=14/2=7;
y0=7²-14*7+49=0;
Вершина параболы (7;0).
3) OX (y=0):
x²-14x+49=0;
(x-7)²=0;
x=7
Точка пересечения с осью ОХ: (7;0).
4) OY (x=0);
y=0²-14*0+49=49;
Точка пересечения с осью OY: (0;49).
5) x²-14x+49=49;
x²-14x=0;
x(x-14)=0;
x-14=0;
x=14.
Точка, симметричная точке (0;49) - (14;49).
6) см. на рисунке
y =(7 -x)*√(х+5) , x ∈ [ -4 ; 4] .
ООФ : x ≥ - 5
max(y) -?
y ' = ((7 -x) * √(x+5) ) ' = (7 -x) ' *√(x+5) +(7 -x)* ( √(x+5) ' =
-√(x+5)+(7 -x) / 2√(x+5) =( -2(x+5) + 7 -x ) / 2√(x+5) = - 3(x+1) / 2√(x+5)
Найдем критические точки (точки , где производная рано нулю или не существует)
(у ' не существует при x= - 5 , но -5 ∉ ООФ) . Остается y ' =0
- 3(x+1) / 2√(x+5) = 0 ⇒ x= -1 ∈ [ -4 ; 4] . При переходе через точку x = -1 производная меняет знак с плюса на минус, значит точка x = -1 является точкой экстремума именно точкой локальный максимум .
y(-1) =(7 -(-1))*√(-1+5) = 8*2 = 16 .
y(-4) =(7 -(-4)√(-4+5) =11;
y(4)= (7-4)√(4+5) = 3*3=9.
max(16;11;9) =16.
ответ : 16 .
* * * * * * * *
Удачи !