Алгебра: Какое число в сумме даст 10 а при умножении минус 36

Какое число в сумме даст 10 а при умножении минус 36

Показать ответ

Ответ:

Abdueva

07.09.2020 01:42

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

$a+c \equiv b + d \ (mod \ m)$

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

$ac \equiv bd \ (mod \ m)$

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

$a = 5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45}$

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, $16 \equiv (-1) \ (mod \ 17)$ , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что $32 \equiv 1 \ (mod \ 31)$ , получаем

$5\cdot 2^{51} = 5\cdot 2^1 \cdot 2^{50}=10 \cdot 2^{10\cdot 5} = 10 \cdot (2^{5})^{10}= 10\cdot 32^{10} \equiv 10 \cdot 1^{10} \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

$21\cdot 32^{45} \equiv 21 \cdot 1^{45}\ (mod \ 31) \equiv 21 \ (mod \ 31)$

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

$5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45} \equiv 10+21 \ (mod \ 31) \equiv 31 \ (mod \ 31) \equiv 0 \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

0,0(0 оценок)

Ответ:

раптраир

17.01.2021 05:41

Пусть 10a+b - двузначное число
Впишем между его цифрами ноль, получим трёхзначное число 100a+b
По условию, оно в 9 раз больше исходного числа, т.е.
100a+b=9(10a+b)
100a+b=90a+9b
100a-90a=9b-b
10a=8b
a=8b:10
a=0,8b

при b=1 a=0,8*1=0,8 - не цифра
при b=2 a=0,8*2=1,6 - не цифра
при b=3 a=0,8*3=2,4 - не цифра
при b=4 a=0,8*4=3,2 - не цифра
при b=5 a=0,8*5=4 - цифра 45 - искомое число (45*9=405)
при b=6 a=0,8*6=4,8- не цифра
при b=7 a=0,8*7=5,6 -не цифра
при b=8 a=0,8*8=6,4 -не цифра
при b=9 a=0,8*9=7,2 -не цифра
*** Для понимания хода решения и рассуждений показаны все варианты перебора

Итак, существует только одно двузначное число, обладающее указанными свойствами. Оно равно 45
ответ: 45

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра