Для решения данной задачи нам понадобится знание о неравенстве, которое гласит: "Сумма двух квадратов всегда неотрицательна, то есть a² + b² ≥ 0 для любых значений a и b".
Теперь рассмотрим данное выражение a²+b²+c²-ab-bc-c. Мы заметим, что это выражение можно записать в виде: (a² - ab) + (b² - bc) + (c² - c).
Теперь применим неравенство о сумме квадратов к каждому из этих трех выражений:
a² - ab ≥ 0,
b² - bc ≥ 0,
c² - c ≥ 0.
Для каждого из этих неравенств найдем минимальное значение. Для первого неравенства, a² - ab ≥ 0, минимальное значение будет достигаться, когда a² - ab = 0. Решим это уравнение:
a(a - b) = 0.
Отсюда получаем два возможных значения a: a = 0 или a = b.
Аналогичным образом решим второе неравенство:
b² - bc ≥ 0.
Здесь минимальное значение достигается, когда b² - bc = 0. Решим это уравнение и найдем минимальное значение b: b = 0 или b = c.
И наконец, третье неравенство:
c² - c ≥ 0.
Здесь минимальное значение достигается, когда c² - c = 0. Получаем минимальное значение c: c = 0 или c = 1.
Теперь найдем комбинации значений, которые могут минимизировать каждое из этих выражений:
1. a = 0, b = 0, c = 0.
2. a = b, b = c, c = 0.
3. a = b, b = c, c = 1.
Теперь подставим значения a, b и c в исходное выражение и найдем их минимальное значение:
1. Подставим a = 0, b = 0 и c = 0:
0² + 0² + 0² - 0*0 - 0*0 - 0 = 0.
2. Подставим a = b, b = c и c = 0:
(a)² + (a)² + 0² - a*a - 0 - 0 = 0.
3. Подставим a = b, b = c и c = 1:
(a)² + (a)² + 1² - a*a - a*1 - 1 = 0.
Таким образом, минимальное значение данного выражения равно 0. Оно достигается, когда все три переменные равны 0.
Окончательный ответ: минимальное значение выражения a²+b²+c²-ab-bc-c равно 0 и достигается, когда a = 0, b = 0 и c = 0.
а²+b²+c²=ab+ac+bc, то а= b=c
Теперь рассмотрим данное выражение a²+b²+c²-ab-bc-c. Мы заметим, что это выражение можно записать в виде: (a² - ab) + (b² - bc) + (c² - c).
Теперь применим неравенство о сумме квадратов к каждому из этих трех выражений:
a² - ab ≥ 0,
b² - bc ≥ 0,
c² - c ≥ 0.
Для каждого из этих неравенств найдем минимальное значение. Для первого неравенства, a² - ab ≥ 0, минимальное значение будет достигаться, когда a² - ab = 0. Решим это уравнение:
a(a - b) = 0.
Отсюда получаем два возможных значения a: a = 0 или a = b.
Аналогичным образом решим второе неравенство:
b² - bc ≥ 0.
Здесь минимальное значение достигается, когда b² - bc = 0. Решим это уравнение и найдем минимальное значение b: b = 0 или b = c.
И наконец, третье неравенство:
c² - c ≥ 0.
Здесь минимальное значение достигается, когда c² - c = 0. Получаем минимальное значение c: c = 0 или c = 1.
Теперь найдем комбинации значений, которые могут минимизировать каждое из этих выражений:
1. a = 0, b = 0, c = 0.
2. a = b, b = c, c = 0.
3. a = b, b = c, c = 1.
Теперь подставим значения a, b и c в исходное выражение и найдем их минимальное значение:
1. Подставим a = 0, b = 0 и c = 0:
0² + 0² + 0² - 0*0 - 0*0 - 0 = 0.
2. Подставим a = b, b = c и c = 0:
(a)² + (a)² + 0² - a*a - 0 - 0 = 0.
3. Подставим a = b, b = c и c = 1:
(a)² + (a)² + 1² - a*a - a*1 - 1 = 0.
Таким образом, минимальное значение данного выражения равно 0. Оно достигается, когда все три переменные равны 0.
Окончательный ответ: минимальное значение выражения a²+b²+c²-ab-bc-c равно 0 и достигается, когда a = 0, b = 0 и c = 0.