Комплексное число. почему i^2(квадрат) = -1 . на каких основаниях так? откуда это взялось и к чему оно? какой его смысл ?

Например, множество натуральных чисел: N = {1; 2; 3; 4...}
на нем всегда выполняется сложение и умножение:
(1+2) ∈ N; (300+1000) ∈ N; (5*7) ∈ N
а вот результат вычитания (и тем более деления) уже не всегда число натуральное... (4-1) ∈ N; (1-4) ∉ N; (1:4) ∉ N
ввели понятие ЦЕЛОЕ число: Z = {...-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4...}
(1-4) ∈ Z
"придумали" дробные числа (множество рациональных чисел Q)
(1:4) ∈ Q
"научились" извлекать корни и "пришлось" описывать множество иррациональных чисел, ведь √5 ∉ Q
и все это действительные числа (R)
и теперь следующий "шаг"
корень из отрицательного числа не существует (по определению)
х² ≠ -1
но это верно только для действительных чисел
расширим представление о числах: пусть существует такое число, 
квадрат которого = -1 и назовем это число (i) - мнимая единица.
i² = -1

ведь когда-то и такое уравнение не имело решения:
х + 3 = 2 на множестве натуральных чисел решений нет)))

смысл: квадратное уравнение х² = -4 теперь имеет решение !!
на множестве комплексных чисел...
а на множестве действительных чисел решений нет...