Контрольная по 11 класс.

с 3 и до последнего.

.

выделением неполного квадрата):
y=x²-4x+9
Выделяем неполный квадрат:
y=x²-4x+9=(х²-4х+4)-4+9=(х-2)²+5
Далее рассуждаем так:
(х-2)²≥0 при любых х∈(-∞;+∞)  и  5 > 0.  Следовательно, (х-2)²+5 > 0
Значит, у=x²-4x+9 > 0
Что и требовалось доказать

основан на геометрических представления):
Докажем, что х²-4х+9>0
1)Находим дискриминант квадратичной функции:
D=(-4)²-4*1*9=16-36=-20 <0 => нет точек пересечения с осью Ох
2)Графиком функции у=х²-4х+9 является парабола, ветви которой направлены 
    вверх, т.к. а=1 > 0
Следовательно, вся парабола расположена выше оси Ох
Это означает, что данная функция принимает только положительные значения.
Что и требовалось доказать.

1.  x² +5x -6=0;
x₁ = - 6;
x₂ =1;
 x₁ / x₂  = -6/1 =-  -6.
2 .Найдите 1/x1^3 +1/x2^3,где х1 и х2 - корни уравнения х^2-3х-6=0.(Варианты ответов:0,5 ,-0,5 ,1/3,-0,375 ,0,375)
1/(x₁)³ +1/(x₂)³ =(x₁³ +x₂³) /(x₁₂)³ = ((x₁ +x₂)³ -3x₁x₂(x₁ +x₂))/(x₁₂)³ =
(3³ -3*(-6)*3)/(6)³=81/216 = 3/8 =0,375.
3.  Найдите произведение корней уравнения (х+1/х)^2 - 2(x+1/x)-3=0.
(Варианты ответов:3,-1, 4, 1, ))
(x+1/x)² -2(x+1/x)-3 =0;
t=x+1/x;       (x+1/x ≤ -2      x+1/x ≥2)
t²  -2t -3 =0
t ₁= -1;
t₂ = 3 ;
x+1/x= -1;
x² +x +1=0 
x+1/x=3;
x² -3x+1 =0; ⇒ x₁x₂ = 1 .
4.Найдите разность кубов большего и меньшего корней уравнения  
(Варианты ответов:-1, 1, -2, 1/2(корень из 85 - 6),2
x₁ =1/8( √85 +1);
x₂ =1/8(√85 -1);
x³₁₁ - x₂³ =(x₁-x₂)³   +  3x₁x₂(x₁-x₂)=(1/4)³ +3*21/16*1/4    =1.
=(1/8)³( √85 +1)³  - (1/8(√85 -1)³)  =(1/8)³ ((√85 +1)³  - (√85 -1))³ =
=(1/8)³*((√85 +1)(√85 -1)+ (√85 -1))²((√85 +1)²  + (√85 +1)(√85 -1)+ (√85 -1))² =
1/32*(85 +2√85 +1+ 85 - 1+85-2√85 +1) =1/32*