Контрольная работа №3 (пп.12 – 15) 9 класс( Макарычев) Вариант 1.
Решите неравенство:
а) 3х2-2х-5>0; б) х2 + 6х+ 9 <0; в) –х2 + 6х ≥ 0.
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (х – 3)(х + 5)>0; б) hello_html_m56022d4b.gif.
3. Решите уравнение:
а) х3 – 13х = 0; б) х4 – 7х2 + 12 = 0.
4. При каких значениях х имеет смысл выражение:
а) hello_html_m12ab2c49.gif; б) hello_html_37d9ef16.gif?
5. При каких значениях а сумма дробей hello_html_15239b17.gif и hello_html_61d647ca.gif равна дроби hello_html_680c25b1.gif?
Контрольная работа №3 (пп.12 – 15) 9 класс( Макарычев)
Вариант 2.
Решите неравенство:
а) 6х2-11х-2<0; б) х2 -8х + 16 <0; в) 5х - х2 ≤ 0.
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (х +2)(х - 6)<0; б) hello_html_6cd60cbc.gif.
3. Решите уравнение:
а) х4 – 5х2 = 0; б) х4 – 11х2 + 18 = 0.
4. При каких значениях х имеет смысл выражение:
а) hello_html_6bc99dc4.gif; б) hello_html_3cc5.gif?
5. При каких значениях b сумма дробей hello_html_m7228c60a.gif и hello_html_40bba601.gif равна дроби hello_html_m29ebcb5c.gif?
Объяснение:
номер 1
1) 9х-6х=21
3х=21 х=7
2) 11х-4х=28
7х=28 х=4
3) 0.6-1.6х+6.4=21-1.2х
0.4х=-14 х=(-14)*4 х= - 64
4) (12х+18)(1.6-0.2х)=0
12х+18=0 12х=-18 х= -1.5 и
1.6-0.2х=0 0.2х=1.6 х=8
ответ: х= 8 или (-1.5)
5) 16х-14=18-20+16х -14=-2
выражение не имеет смысла
номер 2
пусть в первый день они Хкм, тогда во второй 2Хкм, а в третий Х+6
х+2х+х+6=38 4х=32 х=8
ответ: за перший дiнь км
номер 3: третий день х; тогда первый 3х, 2 день= х+8;
х+3х+х+8=58;
5х= 50; х=10 ответ: 10 км за третий день
Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.