Контрольная работа
Вариант 1. А8, к. р. №5
1.Решить неполное квадратное уравнение:
а) 5х² - 125 = 0; б) 3х² + 4х = 0.
2.Решить уравнение:
а) х² + 6х – 7 = 0; б) 3х² + 7х + 2 = 0; в) х² - 3х + 1 = 0; г) х² - х + 3 = 0.
3.Составить приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение – числу 4.
4.Решить задачу. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см². (Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину).
5.Число (- 6) является корнем уравнения 2х² + в х – 6 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение в
а) 5х² - 125 = 0
Для решения этого уравнения, нужно использовать формулу неполного квадратного уравнения: x = ±√(c/a), где а - коэффициент при x², а c - свободный член уравнения.
В нашем случае, а = 5 и c = -125. Подставляем значения в формулу и находим корни:
x₁ = √(-125/5) = √(-25) = n/a (нет реального числа, которое при возведении в квадрат даст -25)
x₂ = -√(-125/5) = -√(-25) = n/a
Таким образом, уравнение не имеет реальных корней.
б) 3х² + 4х = 0
Для решения этого уравнения нужно факторизовать его. Выносим общий множитель х: x(3x + 4) = 0
Используем свойство нулевого произведения: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел должно быть равно нулю.
Таким образом, получаем два уравнения:
x = 0
3x + 4 = 0
Решаем каждое из этих уравнений:
x = 0
3x = -4
x = -4/3
Ответ: уравнение имеет два решения: x = 0 и x = -4/3.
2.Решить уравнение:
а) х² + 6х – 7 = 0
Для решения этого уравнения, мы можем использовать разложение на множители или формулу дискриминанта.
Мы видим, что коэффициенты a, b и c равны 1, 6 и -7 соответственно.
Вычисляем дискриминант по формуле: D = b² - 4ac.
D = 6² - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64.
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня.
Затем, используем формулу для нахождения корней: x = (-b ± √D) / (2a).
x₁ = (-6 + √64) / (2*1) = (-6 + 8) / 2 = 2 / 2 = 1.
x₂ = (-6 - √64) / (2*1) = (-6 - 8) / 2 = -14 / 2 = -7.
Ответ: уравнение имеет два корня: x₁ = 1 и x₂ = -7.
б) 3х² + 7х + 2 = 0
Для решения этого уравнения, также используем формулу дискриминанта.
Коэффициенты a, b и c равны 3, 7 и 2 соответственно.
Вычисляем дискриминант: D = 7² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25.
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня.
Применяем формулу нахождения корней: x = (-b ± √D) / (2a).
x₁ = (-7 + √25) / (2*3) = (-7 + 5) / 6 = -2 / 6 = -1/3.
x₂ = (-7 - √25) / (2*3) = (-7 - 5) / 6 = -12 / 6 = -2.
Ответ: уравнение имеет два корня: x₁ = -1/3 и x₂ = -2.
в) х² - 3х + 1 = 0
Для решения этого уравнения, также использовать формулу дискриминанта.
Коэффициенты a, b и c равны 1, -3 и 1 соответственно.
Вычисляем дискриминант: D = (-3)² - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5.
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня.
Применяем формулу для нахождения корней: x = (-b ± √D) / (2a).
x₁ = (-(-3) + √5) / (2*1) = (3 + √5) / 2.
x₂ = (-(-3) - √5) / (2*1) = (3 - √5) / 2.
Ответ: уравнение имеет два корня: x₁ = (3 + √5) / 2 и x₂ = (3 - √5) / 2.
г) х² - х + 3 = 0
Для решения этого уравнения, снова используем формулу дискриминанта.
Коэффициенты a, b и c равны 1, -1 и 3 соответственно.
Вычисляем дискриминант: D = (-1)² - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11.
Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет реальных корней.
Ответ: уравнение не имеет реальных корней.
3.Составить приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение – числу 4.
Пусть корни уравнения будут x₁ и x₂.
Согласно свойствам квадратного уравнения, сумма корней равна -b/a, а их произведение равно c/a. В данном случае, -b/a = 6 и c/a = 4.
Составляем систему уравнений:
x₁ + x₂ = 6
x₁ * x₂ = 4
Решаем систему уравнений:
x₁ = 6 - x₂
(6 - x₂) * x₂ = 4
Раскрываем скобку: 6x₂ - x₂² = 4
Приводим уравнение к квадратному виду: -x₂² + 6x₂ - 4 = 0
Ответ: приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение - числу 4, это -x₂² + 6x₂ - 4 = 0.
4.Решить задачу. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см². (Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину).
Пусть x - это короткая сторона прямоугольника. Тогда длинная сторона будет x + 7.
Записываем формулу для площади прямоугольника: площадь = длина * ширина.
x(x + 7) = 44
Раскрываем скобку и приводим к квадратному виду: x² + 7x = 44
Переносим все в левую часть уравнения: x² + 7x - 44 = 0
Решаем это квадратное уравнение, используя разложение на множители или формулу дискриминанта.
Для данного уравнения, мы можем произвести разложение на множители: (x + 11)(x - 4) = 0
Используем свойство нулевого произведения:
x + 11 = 0 или x - 4 = 0
Из первого уравнения: x = -11
Из второго уравнения: x = 4
Поскольку сторона не может быть отрицательной, отбрасываем -11. Итак, короткая сторона прямоугольника равна 4 см.
Так как длинная сторона на 7 см больше, длинная сторона будет равна 4 + 7 = 11 см.
Ответ: короткая сторона прямоугольника равна 4 см, а длинная сторона - 11 см.
5.Число (-6) является корнем уравнения 2х² + в х – 6 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение в.
Если число (-6) является корнем уравнения, то можно записать уравнение в таком виде:
2(-6)² + в (-6) - 6 = 0
Упрощаем:
2*36 - 6в - 6 = 0
72 - 6в - 6 = 0
66 - 6в = 0
Выражаем в:
-6в = -66
в = 11
Теперь, для нахождения второго корня, решим это уравнение.
2x² + 11x - 6 = 0
Для решения этого уравнения, можно использовать разложение на множители или формулу дискриминанта.
Проведя вычисления (с разложением или формулой дискриминанта), найдем корни уравнения.
Ответ: второй корень найденного уравнения и значение в: второй корень = ... (соответствующие значения) и в = 11.