Круговая мишень радиуса 12 см разделена пятью концентрическими окружностями, радиус первой из которых равен 2 см, а каждой следующей – на 2 см больше предыдущей. Какова вероятность попадания выстрела в мишень: а) в первое кольцо; б) в предпоследнее кольцо, считая от центра?
-5/x = x^3
Для удобства решения системы уравнений, сначала избавимся от дроби, перемножив обе части уравнения на x:
-5 = x^4
Теперь, для нахождения решений этого уравнения, приведем его к виду справа равной нулю:
x^4 + 5 = 0
Это уравнение является квадратным трехчленом четвертой степени. Однако, для решения системы уравнений требуется нахождение точек пересечения графиков, поэтому нам понадобится график только функции y = -5/x (график функции y = x^3 допустимо не строить).
Для построения графика функции y = -5/x можно использовать знаки на квадрантах координатной плоскости. Построим таблицу значений:
x | y = -5/x
-------------
-3 | -5/(-3) = 5/3
-2 | -5/(-2) = 5/2
-1 | -5/(-1) = 5
0 | не определено (деление на ноль)
1 | -5/1 = -5
2 | -5/2
3 | -5/3
На основе этой таблицы можем построить график функции. Осевые отрезки координатной плоскости отмечены шагом 1. Вертикальная ось имеет деления по 5.
|
|
| |
-5 | | /
| | /
| | /
| |
|_____________|_______________
| |
-3 3
На графике мы видим, что функция имеет обратную зависимость от x, так как при увеличении x значения y уменьшаются, а при уменьшении x значения y увеличиваются. Безымянная точка на графике является точкой (0, не определено), так как при x=0 деление на ноль не определено.
Теперь вернемся к уравнению x^4 + 5 = 0. Уравнение четвертой степени имеет четыре решения, возможно, некоторые из них будут совпадать с точками пересечения графиков, найденных ранее. Решим это уравнение:
x^4 = -5
Под квадратным корнем мы имеем отрицательное число, что означает отсутствие действительных решений для этого уравнения. Таким образом, система уравнений y = -5/x и y = x^3 не имеет решений.
Данный подробный ответ с пояснениями и пошаговым решением должен быть понятен школьнику.
Исходное уравнение: 3cos²x + 2sinxcosx = sin²x
1. Начнем с преобразования уравнения, чтобы избавиться от sin²x на одной из сторон:
3cos²x + 2sinxcosx - sin²x = 0
2. Для более удобного решения, воспользуемся тригонометрическим тождеством sin²x + cos²x = 1. Заменим sin²x на 1 - cos²x:
3cos²x + 2sinxcosx - (1 - cos²x) = 0
3. Раскроем скобки:
3cos²x + 2sinxcosx - 1 + cos²x = 0
4. Сгруппируем похожие члены:
4cos²x + 2sinxcosx - 1 = 0
5. Для удобства обозначим cosx как t:
4t² + 2sint*t - 1 = 0
6. Найдем значение t, решив квадратное уравнение:
t = (-2sint ± √(2sint)² - 4*4*(-1)) / 2*4
7. Упростим:
t = (-2sint ± √(4sin²t + 16)) / 8
t = (-sint ± √(sin²t + 4)) / 4
8. Для решения этого уравнения, воспользуемся свойством cosx = ±√(1 - sin²x). Заменим sin²t на 1 - cos²t:
t = (-sint ± √((1 - cos²t) + 4)) / 4
t = (-sint ± √(5 - cos²t)) / 4
9. Ответ: t = (-sint ± √(5 - cos²t)) / 4
Таким образом, решение уравнения 3cos²x + 2sinxcosx = sin²x записывается как x = arcsin((2/3)^(1/2)), x = π - arcsin((2/3)^(1/2)), x = nπ, где n - целое число.