Очевидно, задача сводится к тому, чтобы доказать, что при любых а выражение а³-а разделится на 2 и на 3
1. а³ - а = а × а × а - а если а - четное, то а³ - а тоже четное если а - нечетное, то а³ - нечетное. Если из любого нечетного вычесть нечетное, то результат будет четным. Действительно: пусть х - четное и у - четное. Тогда х + 1 - нечетное и у + 1 - нечетное. (х + 1) - (у + 1) = х + 1 - у - 1 = х - у - четное по определению Таким образом, а³ - а - делится на 2 при любых а.
2. а³ - а = а(а² -1) = а(а - 1)(а + 1) - при любом а данное произведение является произведением трех последовательных чисел (а -1) ; а ; (а + 1) Из любых трех последовательных чисел одно всегда разделится на 3, следовательно и все произведение этих чисел разделится на 3
Таким образом, мы доказали, что выражение а³ - а делится на 2 и на 3. Следовательно оно разделится на 6
1. а³ - а = а × а × а - а
если а - четное, то а³ - а тоже четное
если а - нечетное, то а³ - нечетное. Если из любого нечетного вычесть
нечетное, то результат будет четным.
Действительно: пусть х - четное и у - четное. Тогда х + 1 - нечетное и
у + 1 - нечетное.
(х + 1) - (у + 1) = х + 1 - у - 1 = х - у - четное по определению
Таким образом, а³ - а - делится на 2 при любых а.
2. а³ - а = а(а² -1) = а(а - 1)(а + 1) - при любом а данное произведение является произведением трех последовательных чисел (а -1) ; а ; (а + 1)
Из любых трех последовательных чисел одно всегда разделится на 3, следовательно и все произведение этих чисел разделится на 3
Таким образом, мы доказали, что выражение а³ - а делится на 2 и на 3. Следовательно оно разделится на 6
Так как .Скорость течения реки равна 3 км/ч, а скорость лодки х км/ч
Тогда скорость по течению реки (х+3)км/ч
скорость против течения реки (х-3)км/ч
10/(х+3)ч- время по течению реки
12/(х-3)ч- время против течения реки
затратив на весь путь 2 ч. получаем уравнение
10/(х+3)+12/(х-3)=2- обе части уравнения умножем на x^2-9 не=0, х не= +-3
10(х-3)+12(х+3)=2(x^2-9)
10x-30+12x+36=2x^2-18
22x+6=2x^2-18
2x^2-22x-24=0- Обе части уравнения делим на 2
x^2-11x-12=0
По теореме Вието
x1+x2=11=12+(-1)=11
x1*x2=-12=12*(1)=-12
x1=12
x2=-1-не является решением нашей задачи
ответ: Скорость лодки 12км/ч.