Квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет ненулевые корни x_1 и x_2. Запишите квадратное уравнение с корнями 1/x_1 и 1/x_1 (укажите ограничения на коэффициенты a, b, `c).

В квадратном уравнение  , которое имеет корни, обратные корням

квадратного уравнения    , меняются местами коэффициенты    и   ,

причём    .

Запишем данное уравнение в более удобном виде:

ax^2+bx+c=0; (предполагается, что а=/=0)

Теорема Виета:

x1*x2=c/a,

x1+x2=-b/a.

Новое уравнение ищем в виде:

Ax^2+Bx+C=0

Опять Виет: (при условии, что с=/=0)

C/A=1/x1*1/x2=1/(x1*x2)=a/c, отсюда C=(a/c)*A

-B/A=1/x1+1/x2=(x2+x1)/(x1*x2)=(-b/a)/(c/a)=-b/c, отсюда B=(b/c)*A

Итак, Ax^2+(b/c)*Ax+(a/c)*A=0, и окончательно:

cx^2+bx+a=0