Шаг 5: Разложим числитель на множители:
(x-6)(x+3)/(4x-2) < 0
Шаг 6: Зададим числитель и знаменатель равными нулю и найдем точки разрыва:
(x-6)(x+3) = 0 => x = 6 или x = -3
В знаменателе 4x-2 = 0 => x = 1/2
Шаг 7: Построим числовую прямую и отметим на ней точки разрыва:
-3 1/2 6
|_________|_________|_____
- | +
Шаг 8: Выберем тестовые значения внутри и вне каждого интервала, сгенерированные точками разрыва. Мы можем выбрать, например, x=-4, x=0, x=5 для интервала (-∞, -3), x=-2 и x=4/2 для интервала (-3, 1/2), и x=2 для интервала (1/2, 6).
Шаг 9: Подставим значения внутри и вне каждого интервала в выражение (x-6)(x+3)/(4x-2):
Шаг 10: Используя значения тестовых чисел, построим таблицу, чтобы определить знак результатов каждого интервала:
(-∞, -3) | (-3, 1/2) | (1/2, 6)
(-) | (+) | (+)
Шаг 11: Вспомним, что нам нужно определить, когда выражение (x-6)(x+3)/(4x-2) меньше 0. Мы видим, что результат положителен только в интервале (-3, 1/2). Поэтому ответ на неравенство lg(x^2+x-20) < lg(4x-2) будет:
Шаг 1: Перенесем все выражения на одну сторону, чтобы получить уравнение:
lg(x^2+x-20) - lg(4x-2) < 0
Шаг 2: Используем одно из свойств логарифмов, а именно:
lg(a) - lg(b) = lg(a/b)
Применим это свойство к данному неравенству:
lg((x^2+x-20)/(4x-2)) < 0
Шаг 3: Поскольку логарифм от числа меньше нуля, когда число находится между 0 и 1, то мы можем записать:
(x^2+x-20)/(4x-2) < 1
Шаг 4: Перенесем 1 налево и упростим дробь:
(x^2+x-20)/(4x-2) - 1 < 0
(x^2+x-20 - (4x-2))/(4x-2) < 0
(x^2+x-20 - 4x+2)/(4x-2) < 0
(x^2 - 3x - 18)/(4x-2) < 0
Шаг 5: Разложим числитель на множители:
(x-6)(x+3)/(4x-2) < 0
Шаг 6: Зададим числитель и знаменатель равными нулю и найдем точки разрыва:
(x-6)(x+3) = 0 => x = 6 или x = -3
В знаменателе 4x-2 = 0 => x = 1/2
Шаг 7: Построим числовую прямую и отметим на ней точки разрыва:
-3 1/2 6
|_________|_________|_____
- | +
Шаг 8: Выберем тестовые значения внутри и вне каждого интервала, сгенерированные точками разрыва. Мы можем выбрать, например, x=-4, x=0, x=5 для интервала (-∞, -3), x=-2 и x=4/2 для интервала (-3, 1/2), и x=2 для интервала (1/2, 6).
Шаг 9: Подставим значения внутри и вне каждого интервала в выражение (x-6)(x+3)/(4x-2):
-3: (-3-6)(-3+3)/(4(-3)-2) = (9)(0)/(-14) = 0 (не удовлетворяет условию)
-4: (-4-6)(-4+3)/(4(-4)-2) = (10)(-1)/(-18) = 10/18 (удовлетворяет условию)
-2: (-2-6)(-2+3)/(4(-2)-2) = (8)(1)/(-10) = -8/10 (не удовлетворяет условию)
0: (0-6)(0+3)/(4(0)-2) = (6)(3)/(-2) = -9 (не удовлетворяет условию)
4/2: (4/2-6)(4/2+3)/(4(4/2)-2) = (-2)(5)/6 = -10/6 (правильное значение, удовлетворяет условию)
2: (2-6)(2+3)/(4(2)-2) = (-4)(5)/6 = -20/6 (не удовлетворяет условию)
5: (5-6)(5+3)/(4(5)-2) = (-1)(8)/(18) = -8/18 (правильное значение, удовлетворяет условию)
Шаг 10: Используя значения тестовых чисел, построим таблицу, чтобы определить знак результатов каждого интервала:
(-∞, -3) | (-3, 1/2) | (1/2, 6)
(-) | (+) | (+)
Шаг 11: Вспомним, что нам нужно определить, когда выражение (x-6)(x+3)/(4x-2) меньше 0. Мы видим, что результат положителен только в интервале (-3, 1/2). Поэтому ответ на неравенство lg(x^2+x-20) < lg(4x-2) будет:
-3 < x < 1/2