Для начала, давайте разберемся, что такое логарифм. Логарифм - это математическая операция, которая позволяет найти показатель степени, в которую нужно возвести число, чтобы получить данное значение.
В нашем случае у нас есть логарифмы по основанию 11, и наша цель - найти значения параметра "а", при которых система имеет 2 различных решения.
1. Давайте начнем с первого логарифма: log11 (16 - y²).
Так как основание логарифма равно 11, мы ищем значение "у", для которого (16 - y²) будет равно 11 возводимому в степень.
16 - y² = 11
Чтобы решить это уравнение относительно "у", мы вычитаем 16 из обеих сторон:
-y² = 11 - 16
-y² = -5
Затем, чтобы избавиться от отрицательного знака, мы умножаем обе стороны на -1:
y² = 5
Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
y = ±√5
Таким образом, значение "у" должно быть равно положительному или отрицательному квадратному корню из 5.
2. Теперь перейдем ко второму логарифму: log11 (16 - a²x²) x² + y² = 2x + 4y.
У нас уже есть значение "у", поэтому мы можем его заменить во втором логарифме:
log11 (16 - a²x²) x² + (±√5)² = 2x + 4(±√5)
После замены значений мы получаем:
log11 (16 - a²x²) x² + 5 = 2x + 4(±√5)
Уравнение будет иметь 2 различных решения, если левая и правая части равны друг другу.
Таким образом, мы можем записать:
log11 (16 - a²x²) x² + 5 = 2x + 4(±√5)
Теперь нам нужно определить значения параметра "а", при которых мы получим 2 различных решения. Для этого мы должны найти такие значения "а", при которых выражение под логарифмом (16 - a²x²) будет больше нуля. Если это значение будет меньше нуля, логарифм с основанием 11 примет отрицательное значение, что невозможно.
Значит, нам нужно решить неравенство:
16 - a²x² > 0
Для начала, давайте решим его относительно "х²". Вычитаем 16 из обеих сторон:
-a²x² > -16
Умножим обе стороны неравенства на -1, чтобы избавиться от отрицательной стороны:
a²x² < 16
Оставим только "х²":
x² < 16/a²
Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:
|x| < √(16/a²)
Учитывая, что square root из 16 - это 4, мы можем записать:
|x| < 4/a
Означает, что значение "x" должно быть меньше 4/a и больше -4/a.
Таким образом, система будет иметь 2 различных решения, если "y" равно ±√5 и "x" находится в интервале (-4/a, 4/a).
Примечание: при значениях "а", при которых a = 0, у нас будет деление на ноль в уравнении, поэтому данное значение недопустимо.
В нашем случае у нас есть логарифмы по основанию 11, и наша цель - найти значения параметра "а", при которых система имеет 2 различных решения.
1. Давайте начнем с первого логарифма: log11 (16 - y²).
Так как основание логарифма равно 11, мы ищем значение "у", для которого (16 - y²) будет равно 11 возводимому в степень.
16 - y² = 11
Чтобы решить это уравнение относительно "у", мы вычитаем 16 из обеих сторон:
-y² = 11 - 16
-y² = -5
Затем, чтобы избавиться от отрицательного знака, мы умножаем обе стороны на -1:
y² = 5
Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
y = ±√5
Таким образом, значение "у" должно быть равно положительному или отрицательному квадратному корню из 5.
2. Теперь перейдем ко второму логарифму: log11 (16 - a²x²) x² + y² = 2x + 4y.
У нас уже есть значение "у", поэтому мы можем его заменить во втором логарифме:
log11 (16 - a²x²) x² + (±√5)² = 2x + 4(±√5)
После замены значений мы получаем:
log11 (16 - a²x²) x² + 5 = 2x + 4(±√5)
Уравнение будет иметь 2 различных решения, если левая и правая части равны друг другу.
Таким образом, мы можем записать:
log11 (16 - a²x²) x² + 5 = 2x + 4(±√5)
Теперь нам нужно определить значения параметра "а", при которых мы получим 2 различных решения. Для этого мы должны найти такие значения "а", при которых выражение под логарифмом (16 - a²x²) будет больше нуля. Если это значение будет меньше нуля, логарифм с основанием 11 примет отрицательное значение, что невозможно.
Значит, нам нужно решить неравенство:
16 - a²x² > 0
Для начала, давайте решим его относительно "х²". Вычитаем 16 из обеих сторон:
-a²x² > -16
Умножим обе стороны неравенства на -1, чтобы избавиться от отрицательной стороны:
a²x² < 16
Оставим только "х²":
x² < 16/a²
Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:
|x| < √(16/a²)
Учитывая, что square root из 16 - это 4, мы можем записать:
|x| < 4/a
Означает, что значение "x" должно быть меньше 4/a и больше -4/a.
Таким образом, система будет иметь 2 различных решения, если "y" равно ±√5 и "x" находится в интервале (-4/a, 4/a).
Примечание: при значениях "а", при которых a = 0, у нас будет деление на ноль в уравнении, поэтому данное значение недопустимо.