. Исследовать функцию с производной и построить ее график: y = x4 - 4x Для решения задачи используем схему исследования функции и алгоритм нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции: Схема исследования функции для построения графика. 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно). 3. Исследовать функцию на чётность и нечётность. 4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции. 5. Отметить «сигнальные» точки в ПСК. 6. Построить график функции. Алгоритм нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции. 1. Найти производную функции у’ . 2. Найти критические точки, решив уравнение у’ = 0. 3. Область определения функции разбить критическими точками на интервалы. 4. Определить знак производной в каждом интервале (методом проб). 5. Сделать вывод о монотонности функции на интервале: · если у’ > 0, то функция на интервале возрастает; · если у’ < 0, то функция на интервале убывает; · если у’ = 0, то необходимы дополнительные исследования. 6. Сделать вывод о существовании экстремумов: · если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «+» на «-», то в этой точке функция имеет максимум; · если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «-» на «+», то в этой точке функция имеет минимум; · если при переходе через критическую точку производная не меняет, то в этой точке функция не имеет экстремума. 7. Вычислить значения функции в точках экстремума. Решение. 1. Функция y = x4 - 32x представляет собой многочлен, следовательно ее область определения – вся числовая прямая. D(y) = (-)/ 2. Найдем точки пересечения графика с осями координат. · С осью OX: y=0 x4 - 4x = 0 x (x3 - 4) = 0 x1 = 0, x 2 = 1,6 точки М1 (0;0), М2 (1,6; 0) · С осью OY: x = 0 . Точка М1 (0;0). 3. Функция ни четная, ни нечетная (переменная х имеет и четную и нечетную степень в выражении функции), т.е. функция общего вида. Следовательно, график функции не имеет симметрии относительно осей координат и начала системы координат. 4. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции. y' = 4x3 – 4, y’ = 0 4x3 – 4= 0 x = 1– критическая точка. - 1 + min Определим знак производной в каждом интервале: y’(0) = -4 <0 функция убывает в интервале (-; 1) y’(2) = 28 >0 функция возрастает в интервале (1; ). Вычислим значение функции в точке экстремума: y(1) = 13 – 4*1 = -3 M3(1;-3) – min. 5. Отметим найденные точки и построим график функции.
