Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения переменной x, при которых выражение больше нуля в заданном интервале (-1; +∞). Давайте пошагово разберёмся, как это сделать.
1. Начнем с разложения левой части неравенства:
(m-1)x^2 + 2mx + 3m - 2 > 0
2. Для удобства давайте объединим все коэффициенты, связанные с m. Обратите внимание, что коэффициенты стоят перед x^2 и x, а также есть свободный член:
(x^2 + 2x + 1)m + (x^2 + 2x - 2) > 0
3. Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом. Заменяя его на этот квадрат, получим:
(x + 1)^2m + (x^2 + 2x - 2) > 0
4. Давайте далее проведём дополнительное преобразование, чтобы избавиться от квадрата:
(x + 1)^2m + (x + 1)(x - 2) > 0
5. Нулевую точку умножим на m, чтобы получить m^2(x + 1)^2m:
m^2(x + 1)^2m + (x + 1)(x - 2) > 0
6. Теперь у нас есть два множителя, умноженные друг на друга. Мы можем решать это неравенство в виде системы уравнений:
m^2(x + 1)^2m > -(x + 1)(x - 2)
7. После раскрытия скобок получаем:
m^2(x + 1)^2m > -x^2 + 3x - 2
8. Перепишем обе части неравенства в порядке убывания:
-x^2 + 3x - 2 < m^2(x + 1)^2m
9. Для нахождения интервалов, в которых неравенство выполнено, давайте разобьем его на две системы уравнений, меняя знак неравенства:
1. Начнем с разложения левой части неравенства:
(m-1)x^2 + 2mx + 3m - 2 > 0
2. Для удобства давайте объединим все коэффициенты, связанные с m. Обратите внимание, что коэффициенты стоят перед x^2 и x, а также есть свободный член:
(x^2 + 2x + 1)m + (x^2 + 2x - 2) > 0
3. Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом. Заменяя его на этот квадрат, получим:
(x + 1)^2m + (x^2 + 2x - 2) > 0
4. Давайте далее проведём дополнительное преобразование, чтобы избавиться от квадрата:
(x + 1)^2m + (x + 1)(x - 2) > 0
5. Нулевую точку умножим на m, чтобы получить m^2(x + 1)^2m:
m^2(x + 1)^2m + (x + 1)(x - 2) > 0
6. Теперь у нас есть два множителя, умноженные друг на друга. Мы можем решать это неравенство в виде системы уравнений:
m^2(x + 1)^2m > -(x + 1)(x - 2)
7. После раскрытия скобок получаем:
m^2(x + 1)^2m > -x^2 + 3x - 2
8. Перепишем обе части неравенства в порядке убывания:
-x^2 + 3x - 2 < m^2(x + 1)^2m
9. Для нахождения интервалов, в которых неравенство выполнено, давайте разобьем его на две системы уравнений, меняя знак неравенства:
1) -x^2 + 3x - 2 < m^2(x + 1)^2m
2) -x^2 + 3x - 2 > m^2(x + 1)^2m
10. Первую систему уравнений мы уже ранее решали и получили интервал (-1; 2). Теперь решим вторую систему уравнений:
-x^2 + 3x - 2 > m^2(x + 1)^2m
11. Далее, упростим это уравнение:
(x^2 - 3x + 2) < -m^2(x + 1)^2m
12. Перепишем обе части неравенства в порядке убывания:
-m^2(x + 1)^2m < (x^2 - 3x + 2)
13. Внесем все коэффициенты под общую знаменательную дробь:
\[(x^2 - 3x + 2) > \frac{-m^2(x + 1)^2m}{m^2}\]
(x^2 - 3x + 2) > \frac{-(x + 1)^2m}{1}
14. Раскроем уравнение в скобках:
(x^2 - 3x + 2) > \frac{-xm^2 - 2xm - m}{1}
15. Упростим это уравнение:
x^2 - 3x + 2 > -xm^2 - 2xm - m
16. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Перенесем все элементы в одну сторону:
(x^2 + xm^2) + (2xm + 3x + m) > 2
17. Объединим коэффициенты, связанные с x, и коэффициенты, связанные с m:
(x^2 + 3x)m^2 + (2x + 3x + 1)m > 2
18. Упростим это уравнение и перенесем все элементы в одну сторону:
(x^2 + 3x)m^2 + (5x + 1)m - 2 > 0
19. Получили квадратное неравенство вида ax^2 + bx + c > 0.
Введите значение коэффициентов a, b и c.