M²+n²/2 ≥ m+n-1 Довести нерівність

1) числитель и знаменатель разделим на Cos²β

Числитель =

=(SinβCosβ + 2)/Cos²β = tgβ + 2/Cos²β = 2 + 2/Cos²β =

= 2(1 + 1/Cos²β) =  2tg²β=8

Знаменатель = (5Cos²β+ 1)/Cos²β = 5 + 1/Cosβ = 4 + 1 +1/Cos²β = 4 + tg²β=8

ответ: 8/8 = 1

2) Разделим и числитель, и знаменатель на Cos²β.

числитель = (SinβCosβ -3)/Cos²β = tg²β - 3/Cos²β = -2 -3/Cos²β=

=-3(2/3 + 1/Сos²β ) = -3(2/3 -1 +1 +1/Cos²β) = - 3( -1/3 + tg²β)= -3(-1/3 +4)=

=1 -12 = -11

Знаменатель = (6Cos²β - Sin²β)/Cos²β = 6 - tg²β = 6 - 4 = 2

ответ: 11/ = 5,5

Дана систему:

{x^2+2y^2=17

{x^2-2xy=-3.

Используем метод подстановки. Из второго уравнения определяем:

у = (x^2 + 3)/2х и подставим в первое.

x^2 + 2((x^4 + 6x^2 + 9)/4x^2) = 17. Приводим к общему знаменателю.

4x^4 + 2x^4 + 12x^2 + 18 = 68x^2. Получаем биквадратное уравнение.

6x^4 - 56x^2 + 18 = 0, сократим на 2: 3x^4 - 28x^2 + 9 = 0.

Замена x^2 = t.    3t^2 - 28t + 18 = 0.  

Ищем дискриминант:

D=(-28)^2-4*3*9=784-4*3*9=784-12*9=784-108=676;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(2root676-(-28))/(2*3)=(26-(-28))/(2*3)=(26+28)/(2*3)=54/(2*3)=54/6=9;

t_2=(-2root676-(-28))/(2*3)=(-26-(-28))/(2*3)=(-26+28)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3.

Получаем 4 ответа: х = +-3 и х = +-(1/√3)

х = 3, у = (9 + 3)/(2*3) = 12/6 = 2,

х = -3, у = (9 + 3)/(2*(-3)) = 12/(-6) = -2,

х = (1/√3), у = ((1/3) + 3)/(2*(1/√3)) = 5/√3,

х = (-1/√3), у = ((1/3) + 3)/(2*(-1/√3)) = -5/√3.