Теперь, заменим исходное неравенство на раскрытые выражения:
1 - 10х + 25х² > 121 + 66х + 9х².
Далее, приведем все члены неравенства в одну сторону, а все числа в другую сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
25х² - 10х + 1 > 9х² + 66х + 121.
Теперь, объединим все коэффициенты перед переменными в одну часть уравнения, а числа в другую:
(25х² - 9х²) + (-10х - 66х) + (1 - 121) > 0.
Упростим каждую из трех частей:
16х² - 76х - 120 > 0.
Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Для этого, найдем вершины параболы, чтобы определить интервалы, где неравенство принимает положительные или отрицательные значения.
Формула для нахождения вершины параболы: x = -b/ (2a), где a и b - коэффициенты перед x.
x = -(-76) / (2 * 16),
x = 76 / 32,
x = 2.375.
Теперь, чтобы определить знак неравенства в каждом интервале, мы можем выбрать любую точку внутри интервала, подставить ее в исходное уравнение и проверить, является ли оно истинным или ложным.
Давайте возьмем x = 0 (центр интервала до вершины).
Так как -120 больше 0, то неравенство истинно на интервале (-∞, 2.375).
Теперь, чтобы найти интервал, на котором неравенство ложно, мы можем выбрать любую точку справа от вершины и проверить, является ли неравенство истинным или ложным. Давайте возьмем x = 5.
Нам дано неравенство: (1-5х)² > (11+3х)².
Для начала, раскроем скобки в обоих частях неравенства:
(1-5х)² = (1-5х)·(1-5х) = 1 - 10х + 25х²,
(11+3х)² = (11+3х)·(11+3х) = 121 + 66х + 9х².
Теперь, заменим исходное неравенство на раскрытые выражения:
1 - 10х + 25х² > 121 + 66х + 9х².
Далее, приведем все члены неравенства в одну сторону, а все числа в другую сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
25х² - 10х + 1 > 9х² + 66х + 121.
Теперь, объединим все коэффициенты перед переменными в одну часть уравнения, а числа в другую:
(25х² - 9х²) + (-10х - 66х) + (1 - 121) > 0.
Упростим каждую из трех частей:
16х² - 76х - 120 > 0.
Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Для этого, найдем вершины параболы, чтобы определить интервалы, где неравенство принимает положительные или отрицательные значения.
Формула для нахождения вершины параболы: x = -b/ (2a), где a и b - коэффициенты перед x.
x = -(-76) / (2 * 16),
x = 76 / 32,
x = 2.375.
Теперь, чтобы определить знак неравенства в каждом интервале, мы можем выбрать любую точку внутри интервала, подставить ее в исходное уравнение и проверить, является ли оно истинным или ложным.
Давайте возьмем x = 0 (центр интервала до вершины).
16 * (0)² - 76 * (0) - 120 > 0,
0 - 0 - 120 > 0,
-120 > 0.
Так как -120 больше 0, то неравенство истинно на интервале (-∞, 2.375).
Теперь, чтобы найти интервал, на котором неравенство ложно, мы можем выбрать любую точку справа от вершины и проверить, является ли неравенство истинным или ложным. Давайте возьмем x = 5.
16 * (5)² - 76 * (5) - 120 > 0,
400 - 380 - 120 > 0,
-100 > 0.
Так как -100 не больше 0, неравенство ложно на интервале (2.375, +∞).
Таким образом, решение данного неравенства: x принадлежит (-∞, 2.375) и исключается из интервала (2.375, +∞).