Мушкетёры хотели купить одинаковые шпаги. Но когда они подсчитали деньги, то оказалось, что Атосу не хватает половины цены шпаги, Портосу и Арамису — четверти каждому, Д`Артаньяну после продажи рыжей лошади не хватило всего лишь пятой части. Через неделю оказалось, что госпожа Кокнар сделала Портосу подарок, подарив кошелек, в котором было 33 пистол(-ей, -я), и друзья, сложив деньги вместе, смогли сделать покупки. Сколько стоила одна шпага?
раскрываем скопки
** вторая степнь
***третья степень
2k**+6k-3k-6+k-2k**-5+10k
2k** и -2k** уходят тк при сложении =0
ответ: -6k-11
первую скопку раскрыть , у остальных в начале минус -это вирус , выворачиваем , а последнюю не трогаем
5x-5y-x+y-x-y (5x-y)
перед скопкой у , множим содержимое скобок на у (** - вторая спень)
5x-5y-x+y-x-y-5xy-y**
приводим подобные (мухи котлеты отдельно ) +y-y=0
3x-5y-5xy-y**
-5у и -у** степени разные и мы не могем их сложить
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например,
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.