На доске написали число 2020! = 1 · 2 · 3 · . . . · 2019 · 2020, затем сложили в этом числе все цифры. Получили новое число, у которого опять сложили все цифры и т.д. В конце получили однозначное число. Какое?
Сумма цифр числа дает один и тот же остаток при делении на 9, что и само число.
И правда: пусть число имеет вид . Тогда
Ч.т.д.
А значит, применяя к числу 2020! приведенную в условии операцию, мы будем получать на каждом шаге числа, дающие тот же остаток при делении на 9, что и 2020!. Т.к. 2020>9, то 2020! делится на 9.
Из однозначных чисел на 9 делятся только 0 и 9. Т.к. сумма цифр числа равна 0 только у числа 0, то последним осталось число 9.
Сумма цифр числа дает один и тот же остаток при делении на 9, что и само число.
И правда: пусть число имеет вид
. Тогда 
Ч.т.д.
А значит, применяя к числу 2020! приведенную в условии операцию, мы будем получать на каждом шаге числа, дающие тот же остаток при делении на 9, что и 2020!. Т.к. 2020>9, то 2020! делится на 9.
Из однозначных чисел на 9 делятся только 0 и 9. Т.к. сумма цифр числа равна 0 только у числа 0, то последним осталось число 9.