Прежде чем ответить на вопрос о том, является ли отношение Р эквивалентностью, давайте разберемся, что такое отношение эквивалентности.
Отношение эквивалентности должно удовлетворять трем свойствам:
1. Рефлексивность: Для любого элемента а из множества Х, а должен находиться в отношении с самим собой, т.е. (а, а) принадлежит Р.
2. Симметричность: Если элемент а находится в отношении с элементом b, то элемент b также находится в отношении с элементом а. То есть, если (а, b) принадлежит Р, то и (b, a) тоже должно принадлежать Р.
3. Транзитивность: Если элемент а находится в отношении с элементом b, и элемент b находится в отношении с элементом с, то элемент а также должен находиться в отношении с элементом с. Или говоря иначе, если (а, b) и (b, c) принадлежат Р, то (а, c) должно принадлежать Р.
Теперь давайте проверим отношение Р на соответствие этим свойствам.
1. Рефлексивность: Нам нужно убедиться, что каждый элемент из множества Х находится в отношении с самим собой.
Проверяем:
- 213 - имеет разные цифры, поэтому (213, 213) не принадлежит Р.
- 37 - имеет разные цифры, поэтому (37, 37) не принадлежит Р.
- 21 - имеет разные цифры, поэтому (21, 21) не принадлежит Р.
- 87 - имеет разные цифры, поэтому (87, 87) не принадлежит Р.
- 11 - имеет одинаковые цифры, поэтому (11, 11) принадлежит Р.
Таким образом, отношение Р не является рефлексивным, так как не все элементы находятся в отношении с самими собой.
2. Симметричность: Нам нужно проверить, что если (а, b) принадлежит Р, то (b, а) также должно принадлежать Р.
Проверяем:
- (213, 37) не принадлежит Р, поэтому (37, 213) не принадлежит Р.
- (213, 21) не принадлежит Р, поэтому (21, 213) не принадлежит Р.
- (213, 87) не принадлежит Р, поэтому (87, 213) не принадлежит Р.
- (213, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 213) не принадлежит Р.
- (37, 21) не принадлежит Р, поэтому (21, 37) не принадлежит Р.
- (37, 87) не принадлежит Р, поэтому (87, 37) не принадлежит Р.
- (37, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 37) не принадлежит Р.
- (21, 87) не принадлежит Р, поэтому (87, 21) не принадлежит Р.
- (21, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 21) не принадлежит Р.
- (87, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 87) не принадлежит Р.
Таким образом, отношение Р не является симметричным, так как в некоторых случаях (а, b) принадлежит Р, но (b, а) не принадлежит Р.
3. Транзитивность: Нам нужно проверить, что если (а, b) и (b, c) принадлежат Р, то (а, c) также должно принадлежать Р.
Проверяем:
- (213, 37) не принадлежит Р.
- (213, 21) не принадлежит Р.
- (213, 87) не принадлежит Р.
- (213, 11) не принадлежит Р.
- (37, 21) не принадлежит Р.
- (37, 87) не принадлежит Р.
- (37, 11) не принадлежит Р.
- (21, 87) не принадлежит Р.
- (21, 11) не принадлежит Р.
- (87, 11) не принадлежит Р.
Таким образом, отношение Р не является транзитивным, так как в некоторых случаях (а, b) и (b, c) не принадлежат Р, но (а, c) должно принадлежать Р.
Итак, по результатам проверки свойств отношения Р мы приходим к выводу, что отношение Р не является отношением эквивалентности, так как не удовлетворяет всем трем свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Отношение эквивалентности должно удовлетворять трем свойствам:
1. Рефлексивность: Для любого элемента а из множества Х, а должен находиться в отношении с самим собой, т.е. (а, а) принадлежит Р.
2. Симметричность: Если элемент а находится в отношении с элементом b, то элемент b также находится в отношении с элементом а. То есть, если (а, b) принадлежит Р, то и (b, a) тоже должно принадлежать Р.
3. Транзитивность: Если элемент а находится в отношении с элементом b, и элемент b находится в отношении с элементом с, то элемент а также должен находиться в отношении с элементом с. Или говоря иначе, если (а, b) и (b, c) принадлежат Р, то (а, c) должно принадлежать Р.
Теперь давайте проверим отношение Р на соответствие этим свойствам.
1. Рефлексивность: Нам нужно убедиться, что каждый элемент из множества Х находится в отношении с самим собой.
Проверяем:
- 213 - имеет разные цифры, поэтому (213, 213) не принадлежит Р.
- 37 - имеет разные цифры, поэтому (37, 37) не принадлежит Р.
- 21 - имеет разные цифры, поэтому (21, 21) не принадлежит Р.
- 87 - имеет разные цифры, поэтому (87, 87) не принадлежит Р.
- 11 - имеет одинаковые цифры, поэтому (11, 11) принадлежит Р.
Таким образом, отношение Р не является рефлексивным, так как не все элементы находятся в отношении с самими собой.
2. Симметричность: Нам нужно проверить, что если (а, b) принадлежит Р, то (b, а) также должно принадлежать Р.
Проверяем:
- (213, 37) не принадлежит Р, поэтому (37, 213) не принадлежит Р.
- (213, 21) не принадлежит Р, поэтому (21, 213) не принадлежит Р.
- (213, 87) не принадлежит Р, поэтому (87, 213) не принадлежит Р.
- (213, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 213) не принадлежит Р.
- (37, 21) не принадлежит Р, поэтому (21, 37) не принадлежит Р.
- (37, 87) не принадлежит Р, поэтому (87, 37) не принадлежит Р.
- (37, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 37) не принадлежит Р.
- (21, 87) не принадлежит Р, поэтому (87, 21) не принадлежит Р.
- (21, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 21) не принадлежит Р.
- (87, 11) не принадлежит Р, поэтому (11, 87) не принадлежит Р.
Таким образом, отношение Р не является симметричным, так как в некоторых случаях (а, b) принадлежит Р, но (b, а) не принадлежит Р.
3. Транзитивность: Нам нужно проверить, что если (а, b) и (b, c) принадлежат Р, то (а, c) также должно принадлежать Р.
Проверяем:
- (213, 37) не принадлежит Р.
- (213, 21) не принадлежит Р.
- (213, 87) не принадлежит Р.
- (213, 11) не принадлежит Р.
- (37, 21) не принадлежит Р.
- (37, 87) не принадлежит Р.
- (37, 11) не принадлежит Р.
- (21, 87) не принадлежит Р.
- (21, 11) не принадлежит Р.
- (87, 11) не принадлежит Р.
Таким образом, отношение Р не является транзитивным, так как в некоторых случаях (а, b) и (b, c) не принадлежат Р, но (а, c) должно принадлежать Р.
Итак, по результатам проверки свойств отношения Р мы приходим к выводу, что отношение Р не является отношением эквивалентности, так как не удовлетворяет всем трем свойствам: рефлексивности, симметричности и транзитивности.