Решение a) Пусть ε > 0. Требуется поэтому ε найти такое δ > 0, чтобы из условия 0 < |x − x0| < δ, т.е. из 0 < |x - 0| < δ вытекало бы неравенство |f(x) − A| < ε, т.е. |3x - 2 − (- 2)| < ε. Последнее неравенство приводится к виду |3(x )| < ε, т.е. |x | < (1/3)* ε. Отсюда следует, что если взять δ = ε/3 , то неравенство 0 < |x | < δ будет автоматически влечь за собой неравенство |3x - 2 − (- 2)| < ε. По определению это и означает, что lim x→ −2 (3x - 2) = −2.
a) Пусть ε > 0. Требуется поэтому ε найти такое δ > 0, чтобы
из условия 0 < |x − x0| < δ, т.е. из 0 < |x - 0| < δ
вытекало бы неравенство |f(x) − A| < ε, т.е. |3x - 2 − (- 2)| < ε.
Последнее неравенство приводится к виду |3(x )| < ε, т.е. |x | < (1/3)* ε. Отсюда следует, что если взять δ = ε/3 , то неравенство 0 < |x | < δ
будет автоматически влечь за собой неравенство |3x - 2 − (- 2)| < ε.
По определению это и означает, что lim x→ −2 (3x - 2) = −2.
Первый геометрический смысл производной)
Производная в точке
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции 
в этой точке.
Пусть
- точка касания двух графиков. Тогда
y = -2x + 2 - касательная к графику y = -x² + p ⇒ k = -2
Производная функции:
Используя геометрический смысл производной, мы получим
Получили абсциссу точку касания, тогда
Тогда, подставив точку (1;0) в первый график уравнения, найдем р
При р = 1 имеется общая точка (1;0) графика функции y = -x² + 1 и прямой y = -2x + 2.
y = -x² + 1 - парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы (0;1). Точки построения изображены на картинке.
y = -2x + 2 - прямая, проходящая через точки (0;2), (1;0).
Второй Определение через дискриминант)
Приравниваем функции: -x² + p = -2x + 2 или -x² + 2x + p - 2 = 0
D = b² - 4ac = 4 + 4(p-2) = 4(1 + p -2) = 4(p-1)
Чтобы графики имели одну общую точку, достаточно чтобы квадратное уравнение имело одно единственное решение, т.е. когда D = 0.
4(p-1) = 0
p = 1.
При р = 1, получим -x² + 2x + 1 - 2 = 0 ⇔ -(x-1)² = 0 ⇒ x=1
y = -1² + 1 = 0
Координаты точки касания двух графиков (1;0).