Привет! Рад видеть, что ты интересуешься математикой. Давай разберем задания по порядку.
1. Найдите корень уравнения: 5^х-24=1/125.
Для начала, давай выразим 1/125 в виде степени числа 5. 125 = 5^3, а 1/125 = 5^(-3). Теперь у нас получается уравнение: 5^х - 24 = 5^(-3).
Преобразуем это уравнение: 5^х = 5^(-3) + 24.
Теперь заметь, что оба члена уравнения имеют основание 5. Следовательно, экспоненты должны быть равны: х = -3 + log5(24 + 1/125).
Теперь найдем значение выражения в скобках: 24 + 1/125 = 12001/125 = 96 + 1/125.
Теперь заметь, что 96 = 5^2 * 3^1, а 1/125 = (1/5)^3 = 5^(-3).
Таким образом, у нас получается уравнение: х = -3 + log5(5^2 * 3^1 + 5^(-3)).
Применим свойства логарифмов: loga(bc) = logab + logac. Тогда получаем:
х = -3 + log5(5^2 * 3^1) + log5(5^(-3)).
Упростим: х = -3 + 2 + log5(3) - 3.
Итак, х = -4 + log5(3).
2. Найдите корень уравнения: √(10х-3) = 2√х.
Для начала, возведем оба члена уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней.
(√(10х-3))^2 = (2√х)^2.
10х - 3 = 4х.
Теперь просто решим это уравнение: 10х - 4х = 3, 6х = 3, х = 3/6, х = 1/2.
3. Решите уравнение: log2(x-1) = 0.
Значение логарифма равное 0 возможно только тогда, когда основание логарифма возводится в степень 0.
Таким образом, x - 1 = 2^0 = 1.
Отсюда, x = 1 + 1 = 2.
4. Найдите значение выражения: log3 81 + log3 1/9.
Используя свойство логарифма loga(bc) = logab + logac, мы можем преобразовать это выражение:
log3 81 + log3 1/9 = log3 (81 * 1/9) = log3 9 = 2, так как 3^2 = 9.
Надеюсь, я разъяснил все шаги по решению задач. Если у тебя возникнут вопросы или что-то не будет понятно, смело спрашивай!
Известно, что: sin(x/2) + cos(x/2) = √0.4
Давайте представим sin(x/2) и cos(x/2) через тригонометрическую формулу половинного угла:
sin(x/2) = √((1 - cos(x))/2) (1)
cos(x/2) = √((1 + cos(x))/2) (2)
Теперь, зная значения sin(x/2) и cos(x/2) из уравнения (1) и (2), мы можем подставить их в исходное уравнение:
√((1 - cos(x))/2) + √((1 + cos(x))/2) = √0.4
Теперь мы поднесём каждую часть уравнения к квадрату, чтобы избавиться от корней:
(1 - cos(x))/2 + 2√((1 - cos(x))/2)√((1 + cos(x))/2) + (1 + cos(x))/2 = 0.4
Упростим получившееся уравнение:
1 - cos(x) + 2√((1 - cos^2(x))/4) + 1 + cos(x) = 0.4
Упростим корень и вычислим выражение √((1 - cos^2(x))/4):
√((1 - cos^2(x))/4) = √(1 - cos^2(x))/2 (3)
Теперь подставим уравнение (3) обратно в исходное уравнение:
1 - cos(x) + 2(√(1 - cos^2(x))/2) + 1 = 0.4
Распространим скобки:
1 - cos(x) + √(1 - cos^2(x)) + 1 = 0.4
Сгруппируем похожие слагаемые:
√(1 - cos^2(x)) - cos(x) + 2 = 0.4
Перенесём 2 на другую сторону:
√(1 - cos^2(x)) - cos(x) = 0.4 - 2
Упростим правую часть уравнения:
√(1 - cos^2(x)) - cos(x) = -1.6
Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
(√(1 - cos^2(x)))^2 - 2√(1 - cos^2(x))cos(x) + cos^2(x) = 2.56
Упростим левую часть уравнения:
1 - cos^2(x) - 2√(1 - cos^2(x))cos(x) + cos^2(x) = 2.56
cos^2(x) и -cos^2(x) сократятся:
1 - 2√(1 - cos^2(x))cos(x) = 2.56
Перенесём 1 на другую сторону:
-2√(1 - cos^2(x))cos(x) = 2.56 - 1
Упростим правую часть уравнения:
-2√(1 - cos^2(x))cos(x) = 1.56
Разделим обе части уравнения на -2:
√(1 - cos^2(x))cos(x) = -0.78
Возведём обе части уравнения в квадрат:
(√(1 - cos^2(x))cos(x))^2 = (-0.78)^2
Упростим левую часть уравнения:
(1 - cos^2(x))cos^2(x) = 0.6084
Раскроем скобки:
cos^2(x) - cos^4(x) = 0.6084
Теперь у нас есть уравнение вида cos^4(x) - cos^2(x) + 0.6084 = 0.
Мы можем заменить cos^2(x) на переменную y, чтобы уравнение стало квадратным:
y^2 - y + 0.6084 = 0
Теперь нам нужно найти значения y, а затем через них вычислить cos^2(x).
Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта квадратного уравнения:
D = b^2 - 4ac
Где a = 1, b = -1 и c = 0.6384.
Подставим значения в формулу:
D = (-1)^2 - 4 * 1 * 0.6384
D = 1 - 2.5536
D = -1.5536
Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней.
Следовательно, уравнение не имеет решений для cos^2(x), а значит не имеет решений для tg(x).
1. Найдите корень уравнения: 5^х-24=1/125.
Для начала, давай выразим 1/125 в виде степени числа 5. 125 = 5^3, а 1/125 = 5^(-3). Теперь у нас получается уравнение: 5^х - 24 = 5^(-3).
Преобразуем это уравнение: 5^х = 5^(-3) + 24.
Теперь заметь, что оба члена уравнения имеют основание 5. Следовательно, экспоненты должны быть равны: х = -3 + log5(24 + 1/125).
Теперь найдем значение выражения в скобках: 24 + 1/125 = 12001/125 = 96 + 1/125.
Теперь заметь, что 96 = 5^2 * 3^1, а 1/125 = (1/5)^3 = 5^(-3).
Таким образом, у нас получается уравнение: х = -3 + log5(5^2 * 3^1 + 5^(-3)).
Применим свойства логарифмов: loga(bc) = logab + logac. Тогда получаем:
х = -3 + log5(5^2 * 3^1) + log5(5^(-3)).
Упростим: х = -3 + 2 + log5(3) - 3.
Итак, х = -4 + log5(3).
2. Найдите корень уравнения: √(10х-3) = 2√х.
Для начала, возведем оба члена уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней.
(√(10х-3))^2 = (2√х)^2.
10х - 3 = 4х.
Теперь просто решим это уравнение: 10х - 4х = 3, 6х = 3, х = 3/6, х = 1/2.
3. Решите уравнение: log2(x-1) = 0.
Значение логарифма равное 0 возможно только тогда, когда основание логарифма возводится в степень 0.
Таким образом, x - 1 = 2^0 = 1.
Отсюда, x = 1 + 1 = 2.
4. Найдите значение выражения: log3 81 + log3 1/9.
Используя свойство логарифма loga(bc) = logab + logac, мы можем преобразовать это выражение:
log3 81 + log3 1/9 = log3 (81 * 1/9) = log3 9 = 2, так как 3^2 = 9.
Надеюсь, я разъяснил все шаги по решению задач. Если у тебя возникнут вопросы или что-то не будет понятно, смело спрашивай!