Давайте разберем каждое уравнение по порядку и определим, является ли оно неполным квадратным уравнением.
1. х² + 14х - 23 = 0
Это полное квадратное уравнение, так как у него присутствуют все три члена (квадратный, линейный и свободный). Чтобы найти корни этого уравнения, можно воспользоваться методом дискриминанта или разложением на множители. Предлагаю воспользоваться дискриминантом:
D = b² - 4ac
D = 14² - 4(1)(-23)
D = 196 + 92
D = 288
Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня:
x₁ = (-b + √D) / 2a
x₁ = (-14 + √288) / 2(1)
x₁ = (-14 + 2√72) / 2
x₁ = (-14 + 2√36∙2) / 2
x₁ = (-14 + 2∙6√2) / 2
x₁ = -7 + 6√2
Таким образом, корни уравнения равны x₁ = -7 + 6√2, x₂ = -7 - 6√2.
2. 16х² - 9 = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует линейный член (со степенью 1). Для его решения можно воспользоваться формулой для квадратного тринома разности квадратов:
(a - b)(a + b) = a² - b²
Представим уравнение в виде разности квадратов:
(4х)² - 3² = 0
(4х - 3)(4х + 3) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
(4х - 3) = 0 или (4х + 3) = 0
a) 4х - 3 = 0
4х = 3
х = 3/4
b) 4х + 3 = 0
4х = -3
х = -3/4
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 3/4 и х₂ = -3/4.
3. -х² + х = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует свободный член (со степенью 0). Для его решения необходимо вынести общий множитель и применить свойство нулевого произведения:
х(-х + 1) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
х = 0 или -х + 1 = 0
a) х = 0
b) -х + 1 = 0
х = 1
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 0 и х₂ = 1.
4. 3х² - 12х = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует свободный член (со степенью 0). Для его решения также необходимо вынести общий множитель и применить свойство нулевого произведения:
3х(х - 4) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
3х = 0 или х - 4 = 0
a) 3х = 0
х = 0
b) х - 4 = 0
х = 4
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 0 и х₂ = 4.
5. x + 8 - 9х² = 0
Это полное квадратное уравнение, так как у него присутствуют все три члена (квадратный, линейный и свободный). В этом случае нам нужно использовать метод дискриминанта.
Но перед этим мы должны привести уравнение к стандартному виду, где максимальная степень переменной равна 2:
-9х² + x + 8 = 0
Теперь применим метод дискриминанта:
D = b² - 4ac
D = 1² - 4(-9)(8)
D = 1 + 288
D = 289
Так как дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень:
x = -b / 2a
x = -1 / 2(-9)
x = -1 / -18
x = 1/18
Таким образом, корень уравнения равен x = 1/18.
6. х² + 2x = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует свободный член (со степенью 0). Для его решения также необходимо вынести общий множитель и применить свойство нулевого произведения:
х(х + 2) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
х = 0 или х + 2 = 0
a) х = 0
b) х + 2 = 0
х = -2
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 0 и х₂ = -2.
7. -2х² + 14 = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует линейный член (со степенью 1). Для его решения можно воспользоваться формулой для квадратного тринома разности квадратов:
(-√2х + √14)(√2х + √14) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
-√2х + √14 = 0 или √2х + √14 = 0
a) -√2х + √14 = 0
√2х = √14
2х = 14
х = 7
b) √2х + √14 = 0
√2х = -√14
Это уравнение не имеет решений, так как невозможно получить отрицательное число извлечением квадратного корня.
Таким образом, корень уравнения равен х = 7.
8. 3 - х² + х = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует линейный член (со степенью 1). Для его решения можно воспользоваться формулой для квадратного тринома разности квадратов:
(√3 - √х)(√3 + √х) - х = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
√3 - √х - х = 0 или √3 + √х - х = 0
a) √3 - √х - х = 0
-√х = х - √3
√х + х = √3
х(√1 + 1) = √3
х = √3
b) √3 + √х - х = 0
√х = х - √3
х + √х = √3
х(1 + √1) = √3
х = √3
Таким образом, корень уравнения равен х = √3.
В результате анализа всех представленных уравнений, мы определили, какие из них являются неполными квадратными уравнениями и нашли их корни.
1. х² + 14х - 23 = 0
Это полное квадратное уравнение, так как у него присутствуют все три члена (квадратный, линейный и свободный). Чтобы найти корни этого уравнения, можно воспользоваться методом дискриминанта или разложением на множители. Предлагаю воспользоваться дискриминантом:
D = b² - 4ac
D = 14² - 4(1)(-23)
D = 196 + 92
D = 288
Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных корня:
x₁ = (-b + √D) / 2a
x₁ = (-14 + √288) / 2(1)
x₁ = (-14 + 2√72) / 2
x₁ = (-14 + 2√36∙2) / 2
x₁ = (-14 + 2∙6√2) / 2
x₁ = -7 + 6√2
x₂ = (-b - √D) / 2a
x₂ = (-14 - 2√72) / 2(1)
x₂ = (-14 - 2√36∙2) / 2
x₂ = (-14 - 2∙6√2) / 2
x₂ = -7 - 6√2
Таким образом, корни уравнения равны x₁ = -7 + 6√2, x₂ = -7 - 6√2.
2. 16х² - 9 = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует линейный член (со степенью 1). Для его решения можно воспользоваться формулой для квадратного тринома разности квадратов:
(a - b)(a + b) = a² - b²
Представим уравнение в виде разности квадратов:
(4х)² - 3² = 0
(4х - 3)(4х + 3) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
(4х - 3) = 0 или (4х + 3) = 0
a) 4х - 3 = 0
4х = 3
х = 3/4
b) 4х + 3 = 0
4х = -3
х = -3/4
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 3/4 и х₂ = -3/4.
3. -х² + х = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует свободный член (со степенью 0). Для его решения необходимо вынести общий множитель и применить свойство нулевого произведения:
х(-х + 1) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
х = 0 или -х + 1 = 0
a) х = 0
b) -х + 1 = 0
х = 1
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 0 и х₂ = 1.
4. 3х² - 12х = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует свободный член (со степенью 0). Для его решения также необходимо вынести общий множитель и применить свойство нулевого произведения:
3х(х - 4) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
3х = 0 или х - 4 = 0
a) 3х = 0
х = 0
b) х - 4 = 0
х = 4
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 0 и х₂ = 4.
5. x + 8 - 9х² = 0
Это полное квадратное уравнение, так как у него присутствуют все три члена (квадратный, линейный и свободный). В этом случае нам нужно использовать метод дискриминанта.
Но перед этим мы должны привести уравнение к стандартному виду, где максимальная степень переменной равна 2:
-9х² + x + 8 = 0
Теперь применим метод дискриминанта:
D = b² - 4ac
D = 1² - 4(-9)(8)
D = 1 + 288
D = 289
Так как дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень:
x = -b / 2a
x = -1 / 2(-9)
x = -1 / -18
x = 1/18
Таким образом, корень уравнения равен x = 1/18.
6. х² + 2x = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует свободный член (со степенью 0). Для его решения также необходимо вынести общий множитель и применить свойство нулевого произведения:
х(х + 2) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
х = 0 или х + 2 = 0
a) х = 0
b) х + 2 = 0
х = -2
Таким образом, корни уравнения равны х₁ = 0 и х₂ = -2.
7. -2х² + 14 = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует линейный член (со степенью 1). Для его решения можно воспользоваться формулой для квадратного тринома разности квадратов:
(-√2х + √14)(√2х + √14) = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
-√2х + √14 = 0 или √2х + √14 = 0
a) -√2х + √14 = 0
√2х = √14
2х = 14
х = 7
b) √2х + √14 = 0
√2х = -√14
Это уравнение не имеет решений, так как невозможно получить отрицательное число извлечением квадратного корня.
Таким образом, корень уравнения равен х = 7.
8. 3 - х² + х = 0
Это неполное квадратное уравнение, так как отсутствует линейный член (со степенью 1). Для его решения можно воспользоваться формулой для квадратного тринома разности квадратов:
(√3 - √х)(√3 + √х) - х = 0
Теперь решим два уравнения, полученных в результате разложения:
√3 - √х - х = 0 или √3 + √х - х = 0
a) √3 - √х - х = 0
-√х = х - √3
√х + х = √3
х(√1 + 1) = √3
х = √3
b) √3 + √х - х = 0
√х = х - √3
х + √х = √3
х(1 + √1) = √3
х = √3
Таким образом, корень уравнения равен х = √3.
В результате анализа всех представленных уравнений, мы определили, какие из них являются неполными квадратными уравнениями и нашли их корни.
а) Дано уравнение √(3x-2) = 5x-8.
1. Начнем с возведения обеих частей уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(√(3x-2))^2 = (5x-8)^2.
2. Упростим полученное выражение:
3x-2 = (5x-8)^2.
3. Раскроем квадрат и упростим уравнение:
3x-2 = 25x^2 - 80x + 64.
4. Перенесем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
25x^2 - 83x + 66 = 0.
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-83)^2 - 4 * 25 * 66 = 6889 - 6600 = 289.
6. Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:
x₁ = (-(-83) + √289) / (2 * 25) = (83 + 17) / 50 = 100 / 50 = 2.
x₂ = (-(-83) - √289) / (2 * 25) = (83 - 17) / 50 = 66 / 50 = 1.320.
Ответ: уравнение имеет два корня x₁ = 2 и x₂ = 1.320.
б) Дано уравнение √(3x+1) = √(x+3).
1. Возводим обе части уравнения в квадрат:
(√(3x+1))^2 = (√(x+3))^2.
2. Продолжаем упрощение:
3x+1 = x+3.
3. Переносим все слагаемые влево и упрощаем уравнение:
2x = 2.
4. Делим обе части уравнения на 2:
x = 2/2.
5. Упрощаем и получаем окончательный ответ:
x = 1.
Ответ: уравнение имеет один корень x = 1.
в) Дано уравнение x^2 + √(x^2-x+9) = 3+x.
1. Начнем с избавления от корня во втором слагаемом:
√(x^2-x+9)^2 = (3+x)^2.
2. Упростим уравнение:
x^2 - x + 9 = 9 + 6x + x^2.
3. Распишем упрощенное уравнение и исключим x^2:
x^2 - x^2 - 6x + x + 9 - 9 = 0.
4. Упростим дальше и исключим x:
-5x = 0.
5. Делим обе части на -5:
x = 0.
Ответ: уравнение имеет один корень x = 0.
Вот все решения иррациональных уравнений. Если что-то не понятно, пожалуйста, не стесняйтесь задать дополнительные вопросы.