Добрый день! Конечно, я могу помочь вам решить данную задачу.
Для начала, давайте разберемся с вероятностью того, что длина наудачу взятой детали будет меньше 123,4 мм.
Мы знаем, что фактическая длина изготовленных деталей находится в интервале 122,4 мм < X < 127,6 мм. Это означает, что наша длина X является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a=125 мм и неизвестной дисперсией σ^2.
Задача требует найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет меньше 123,4 мм. Для этого мы можем воспользоваться стандартизацией нормального распределения.
За нулевую гипотезу (H0) примем, что длина детали меньше 123,4 мм. Тогда наша задача сводится к нахождению P(X < 123,4).
Для вычисления этой вероятности, нам нужно найти Z-значение (стандартизированное значение) для длины 123,4 мм. Z-значение рассчитывается как (X - a) / σ, где X - заданная длина, a - математическое ожидание, а σ - стандартное отклонение.
Однако, у нас нет информации о значении σ (стандартное отклонение). Поэтому мы не можем найти точное значение вероятности.
Мы можем оценить вероятность, используя стандартное отклонение σ какое-то значение и вычислить Z-значение. Давайте предположим, что σ=1, и проведем вычисления:
Z = (123,4 - 125) / 1 = -1,6
Теперь мы можем использовать таблицу нормального распределения или калькулятор для нахождения вероятности P(Z < -1,6). Если мы предположим, что σ=1, то найдем значение вероятности равной 0,0548.
Однако, поскольку мы не знаем точное значение σ, мы также не знаем точное значение вероятности P(X < 123,4). Тем не менее, мы можем утверждать, что вероятность будет близка к 0,0548.
Теперь рассмотрим вторую часть задачи про отклонение длины детали от a с вероятностью 0,98.
Мы знаем, что вероятность попасть в интервал (a-σ, a+σ) для нормального распределения с математическим ожиданием a составляет около 0,68, что означает в данной задаче, что две стандартные девиации со стандартным отклонением α находятся в наблюдательной выборке. Вероятность попасть в интервал (a-2σ, a+2σ) составляет около 0,95 и так далее.
Так как нам нужно найти значение отклонения σ, при котором вероятность попасть в интервал (a-kσ, a+kσ) равна 0,98, мы можем воспользоваться таблицей нормального распределения и найти значение Z при котором P(Z < Z0) = 0,98, где Z0 - это стандартизированное значение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением равным единице.
Из таблицы нормального распределения мы видим, что P(Z < 2,33) ≈ 0,9900. Таким образом, значение Z, при котором вероятность попасть в интервал (a-kσ, a+kσ) равна 0,98, составляет приблизительно 2,33.
Теперь мы можем выразить kσ из уравнения Z = (a - kσ - a) / σ = (a - a + kσ) / σ = k, где k - это отклонение в стандартных отклонениях и составляет 2,33.
Таким образом, мы можем гарантировать, что отклонение длины детали от a будет равно 2,33 стандартных отклонения с вероятностью 0,98.
Надеюсь, я вам помог в решении данной задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
Из таблицы видно, что функция возрастает на интервале [1/4;16], так как производная положительна, и функция уменьшается на интервале [0;1/4], так как производная отрицательна.
Пятый шаг: Ответ.
Таким образом, решение уравнения f(x) = x/2 - 2корня из x на отрезке [0;16] можно представить так:
- Функция пересекает ось x в точках x = 0 и x = 16.
- Функция имеет экстремумы в точках x = 0 и x = 16.
- Функция возрастает на интервале [1/4;16] и уменьшается на интервале [0;1/4].
Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.
Для начала, давайте разберемся с вероятностью того, что длина наудачу взятой детали будет меньше 123,4 мм.
Мы знаем, что фактическая длина изготовленных деталей находится в интервале 122,4 мм < X < 127,6 мм. Это означает, что наша длина X является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a=125 мм и неизвестной дисперсией σ^2.
Задача требует найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет меньше 123,4 мм. Для этого мы можем воспользоваться стандартизацией нормального распределения.
За нулевую гипотезу (H0) примем, что длина детали меньше 123,4 мм. Тогда наша задача сводится к нахождению P(X < 123,4).
Для вычисления этой вероятности, нам нужно найти Z-значение (стандартизированное значение) для длины 123,4 мм. Z-значение рассчитывается как (X - a) / σ, где X - заданная длина, a - математическое ожидание, а σ - стандартное отклонение.
Однако, у нас нет информации о значении σ (стандартное отклонение). Поэтому мы не можем найти точное значение вероятности.
Мы можем оценить вероятность, используя стандартное отклонение σ какое-то значение и вычислить Z-значение. Давайте предположим, что σ=1, и проведем вычисления:
Z = (123,4 - 125) / 1 = -1,6
Теперь мы можем использовать таблицу нормального распределения или калькулятор для нахождения вероятности P(Z < -1,6). Если мы предположим, что σ=1, то найдем значение вероятности равной 0,0548.
Однако, поскольку мы не знаем точное значение σ, мы также не знаем точное значение вероятности P(X < 123,4). Тем не менее, мы можем утверждать, что вероятность будет близка к 0,0548.
Теперь рассмотрим вторую часть задачи про отклонение длины детали от a с вероятностью 0,98.
Мы знаем, что вероятность попасть в интервал (a-σ, a+σ) для нормального распределения с математическим ожиданием a составляет около 0,68, что означает в данной задаче, что две стандартные девиации со стандартным отклонением α находятся в наблюдательной выборке. Вероятность попасть в интервал (a-2σ, a+2σ) составляет около 0,95 и так далее.
Так как нам нужно найти значение отклонения σ, при котором вероятность попасть в интервал (a-kσ, a+kσ) равна 0,98, мы можем воспользоваться таблицей нормального распределения и найти значение Z при котором P(Z < Z0) = 0,98, где Z0 - это стандартизированное значение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением равным единице.
Из таблицы нормального распределения мы видим, что P(Z < 2,33) ≈ 0,9900. Таким образом, значение Z, при котором вероятность попасть в интервал (a-kσ, a+kσ) равна 0,98, составляет приблизительно 2,33.
Теперь мы можем выразить kσ из уравнения Z = (a - kσ - a) / σ = (a - a + kσ) / σ = k, где k - это отклонение в стандартных отклонениях и составляет 2,33.
Таким образом, мы можем гарантировать, что отклонение длины детали от a будет равно 2,33 стандартных отклонения с вероятностью 0,98.
Надеюсь, я вам помог в решении данной задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
Первый шаг: Найдем точки пересечения функции с осью x, то есть значения x, при которых f(x) равно нулю.
Подставим f(x) = 0 и решим полученное уравнение:
x/2 - 2корня из x = 0
Чтобы упростить уравнение, переместим корень из x на другую сторону уравнения:
x/2 = 2корень из x
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(x/2)^2 = (2корень из x)^2
x^2/4 = 4x
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
x^2 = 16x
Теперь приведем уравнение к квадратному виду:
x^2 - 16x = 0
Факторизуем это уравнение, вынесем общий множитель:
x(x - 16) = 0
Таким образом, получаем две возможные точки пересечения с осью x: x = 0 и x = 16.
Второй шаг: Проверим экстремумы функции, то есть точки максимума или минимума на указанном отрезке [0;16].
Для этого найдем значения функции в крайних точках отрезка [0;16] и сравним их.
Подставим x = 0 в нашу функцию:
f(0) = 0/2 - 2корня из 0 = -2корня из 0 = -2*0 = 0
Подставим x = 16 в нашу функцию:
f(16) = 16/2 - 2корня из 16 = 8 - 2*4 = 8 - 8 = 0
Оба значения равны 0, значит, эти точки являются экстремумами функции на отрезке [0;16].
Третий шаг: Анализируем изменение функции внутри отрезка [0;16].
Для этого найдем производную функции f'(x) и проанализируем ее знаки.
f(x) = x/2 - 2корня из x
Найдем производную функции, продифференцировав каждый член отдельно:
f'(x) = 1/2 - 1/корень из x
Чтобы проанализировать знаки производной, найдем точки, в которых производная равняется нулю:
1/2 - 1/корень из x = 0
Умножим обе части уравнения на 2корень из x, чтобы избавиться от знаменателя:
2корень из x - 1 = 0
2корень из x = 1
Возводим обе части уравнения в квадрат:
4x = 1
x = 1/4
Таким образом, получаем точку x = 1/4, в которой производная равна нулю.
Четвертый шаг: Строим таблицу знаков производной и анализируем изменение функции.
| x | 0 | 1/4 | 16 |
|-------|------|------|------|
| f'(x) | - | 0 | + |
| f(x) | 0 | мин. | 0 |
Из таблицы видно, что функция возрастает на интервале [1/4;16], так как производная положительна, и функция уменьшается на интервале [0;1/4], так как производная отрицательна.
Пятый шаг: Ответ.
Таким образом, решение уравнения f(x) = x/2 - 2корня из x на отрезке [0;16] можно представить так:
- Функция пересекает ось x в точках x = 0 и x = 16.
- Функция имеет экстремумы в точках x = 0 и x = 16.
- Функция возрастает на интервале [1/4;16] и уменьшается на интервале [0;1/4].
Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.