Написать уравнение касательной графику у=5х-х² и точках пересечения с ось Ox​

Если я поняла правильно, то то, что связывает путь и время - это скорость. Скорость - это производная от S(t). Потом находим нулевую точку:
1) S(t) = ((t³ / 3) - t⇒v(t)=s`(t)=((t³ / 3) - t)`=(1/3)·3t²-1=t²-1; 
v(t)=0;
т.е. t²-1=0⇒t²=1⇒t=1(t≠-1, т.к. путь отрицательным быть не может)
2)S(t) = ((t⁴) / 4) - t³ + 2 ⇒v(t)=s`(t)=((t⁴) / 4) - t³ + 2)`= (1/4)·4t³-3t²=t³-3t²;
v(t)=0; 
т.е. t³-3t²=0⇒t²(t-3)=0⇒t=3
3)S(t) = (t⁵ / 5) - t³ + 4⇒v(t)=s`(t)=((t⁵ / 5) - t³ + 4)`=(1/5)·5t⁴-3t²=t⁴-3t²
v(t)=0;
т.е. t⁴-3t²=0 ⇒t²(t²-3)=0⇒t²=3⇒t=√3
4) S(t) = t² - t ⇒v(t)=s`(t)=(t²-t)`=2t-1
v(t)=0;
т.е. 2t-1=0⇒2t=1⇒t=1/2
Как-то так.

F(x)=2ax+|x²-8x+7|
x²-8x+7=0
x1+x2=8 U x1*x2=7
x1=1 U x2=7
1)x∈(-∞;1) U (7;∞)
f(x)=2ax+x²-8x+7=x²-x(8-2a)+7
a=1⇒ордината вершины -наименьшее значение функции
абсцисса вершины равна (8-2a)/2=4-a
y=(4-a)²-(4-a)(8-2a)+7=16-8a+a²-32+8a+8a-2a²+7=-a²+8a-9>1
a²-8a+10<0
D=64-40=24
a1=(8-2√6)/2=4-√6 U a2=4+√6
a∈(4-√6;4+√6)
2)x∈[1;7]
y=2ax-x²+8x-7=-x²+x(8+2a)-7
абсцисса вершины равна (8+2a)/2=4+a
y=-(4+a)²+(4+a)(8+2a)-7=-16-8a-a²+32+8a+8a+2a²-7=a²+8a+9>1
a²+8a+8>0
D=64-32=32
a1=(-8-4√2)/2=-4-2√2 U a2=-4+2√2
a∈(-∞;-4-2√2) U (-4+2√2;∞)
ответ a∈(-∞;-4-2√2) U (-4+2√2;4+√6)